Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Techniques de Laboratoire
Option : Chimie de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session 2010
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Durée de l'épreuve : 3 heures - Coefficient 4 L'utilisation d'une calculatrice est autorisée (circulaire N°99-186 du 16 novembre 1999).
Le sujet est composé de deux exercices indépendants et d'un problème.
Le candidat doit traiter les deux exercices et le problème.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Le formulaire officiel et du papier millimétré sont distribués avec le sujet.
4 points
exercice 1
1. Résoudre l'équation différentielle :
,
où est une fonction de la variable réelle , définie et deux fois dérivable sur l'ensemble des nombres réels.
2. Déterminer la fonction , solution de l'équation différentielle précédente, qui vérifie les conditions suivantes :
et .
3. Vérifier que, pour tout nombre réel , .
4. a) Résoudre dans l'équation .
b) En déduire les solutions dans de l'équation .
5 points
exercice 2
Un conteneur contient 100 flacons de même capacité, remplis d'une solution liquide contenant un produit P et dosée de la manière suivante :
5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 10 % du produit P ;
30 flacons sont remplis d'une solution dosée à 20 % du produit P ;
40 flacons sont remplis d'une solution dosée à 30 % du produit P ;
20 flacons sont remplis d'une solution dosée à 40 % du produit P ;
5 flacons sont remplis d'une solution dosée à 50 % du produit P.
On tire au hasard un flacon du conteneur.
On admet que tous les flacons ont la même probabilité d'être tirés.
On appelle la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'un flacon, associe le nombre exprimant le pourcentage de la solution contenue dans ce flacon.
Ainsi, si l'on tire l'un des cinq flacons dont le contenu est dosé à 10 %, prend la valeur .
1. Donner, sous forme de tableau, la loi de probabilité de la variable aléatoire .
2. Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire .
3. Déterminer le dosage de la solution obtenue en mélangeant le contenu des 100 flacons dans un même récipient.
4.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Le produit P étant toujours dosé soit à 10 %, soit à 20 %, soit à 30 %, soit à 40 %, soit à 50 %, on souhaite obtenir en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons. Proposer une manière de parvenir à ce résultat.
11 points
probleme
On considère la fonction définie sur l'intervalle par : .
1. Déterminer la limite de la fonction en . (On rappelle que la limite de lorsque tend vers est ).
2. Vérifier que, pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle , .
En déduire la limite de la fonction en .
3. On désigne par la dérivée de la fonction .
a) Calculer .
Vérifier que, pour tout nombre réel appartenant à l'intervalle , .
b) Etudier le signe de suivant les valeurs de .
4. Donner le tableau de variations de la fonction . Indiquer les limites en et , ainsi que la valeur de l'extremum de la fonction .
5.Montrer que l'équation admet une solution unique dans l'intervalle .
Déterminer un encadrement de d'amplitude .
6. On note la courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormé (unité graphique : 1 cm).
Tracer la courbe ; faire figurer le point de la courbe d'abscisse .
7. On considère la fonction définie sur l'intervalle par .
Vérifier que la fonction est une primitive de la fonction sur l'intervalle .
8. On considère le domaine limité par la courbe , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives :
et .
Calculer l'aire du domaine .
Donner une valeur approcheé de au centième.
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,
est une fonction de la variable réelle 
, définie et deux fois dérivable sur l'ensemble 
des nombres réels.
, solution de l'équation différentielle précédente, qui vérifie les conditions suivantes :
\ =\ -\sqrt{3})
et \ =\ 5)
.\ =\ 2 \cos\left(5t+\dfrac{\pi}{6}\right))
.
.
\ =\ 1)
.
la variable aléatoire qui, à chaque tirage d'un flacon, associe le nombre exprimant le pourcentage de la solution contenue dans ce flacon.
.
)
de la variable aléatoire \ =\ 29,2)
en modifiant le dosage de la solution contenue dans un seul des flacons. Proposer une manière de parvenir à ce résultat.
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par : \ =\ \dfrac{3}{2}x^2\ -\ x^2 \ln\ x\ +\ 1)
.
. (On rappelle que la limite de 
lorsque 
tend vers \ =\ x^2 \left(\dfrac{3}{2}\ -\ \ln\ x\right)\ +\ 1)
.
.
la dérivée de la fonction )
.
\ =\ 2x.(1\ -\ \ln\ x))
.
\ =\ 0)
admet une solution 
unique dans l'intervalle ![[4\ ;\ 5]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?[4\ ;\ 5])
.
.
la courbe représentative de la fonction )
(unité graphique : 1 cm).
de la courbe 
définie sur l'intervalle \ =\ \dfrac{11}{18}.x^3\ -\ \dfrac{1}{3}.x^3.\ln\ x\ +\ x)
.
limité par la courbe 
et 
.
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