Baccalauréat Général
Session Mai 2011 - Amérique du Nord
Série Scientifique
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Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9
L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
5 points
exercice 1
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct .
On considère les points A et B d'affixes respectives : et .
On note : la rotation de centre A, d'angle , la rotation de centre B, d'angle et la rotation de centre O, d'angle .
Partie A
On considère le point C d'affixe . On appelle D l'image de C par , G l'image de D par et H l'image de C par .
On note et les affixes respectives des points D, G et H.
1. Démontrer que .
2. Déterminer et .
3. Démontrer que le quadrilatère CDGH est un rectangle.
Partie B
On considère un point , distinct de O et de A, d'affixe . On appelle l'image de par , l'image de par et l'image de par .
On note et les affixes respectives des points , et .
1. Montrer que . On admettra que et .
2. Montrer que le quadrilatère est un parallélogramme.
3. a) Montrer l'égalité : .
b)Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. Déterminer l'ensemble des points tels que le quadrilatère soit un rectangle.
4 points
exercice 2
Les parties A et B sont indépendantes
Partie A
Une salle informatique d'un établissement scolaire est équipée de 25 ordinateurs dont 3 sont défectueux. Tous les ordinateurs ont la même probabilité d'être choisis.
On choisit au hasard deux ordinateurs de cette salle.
Quelle est la probabilité que ces deux ordinateurs soient défectueux ?
Partie B
La durée de vie d'un ordinateur (c'est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle de paramètre avec .
Ainsi, pour tout réel positif, la probabilité qu'un ordinateur ait une durée de vie inférieure à années, notée , est donnée par : .
1. Déterminer sachant que .
2. Dans cette question, on prendra .
Sachant qu'un ordinateur n'a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 10-3 près, la probabilité qu'il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?
3. Dans cette question, on admet que la durée de vie d'un ordinateur est indépendante de celle des autres et que .
a) On considère un lot de 10 ordinateurs.
Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l'un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité.
b) Quel nombre minimal d'ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l'évènement «l'un au moins d'entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans» soit supérieure à 0,999 ?
5 points
exercice 3
Partie A : Restitution organisée de connaissances
On considère trois points A, B et C de l'espace et trois réels et de somme non nulle.
Démontrer que, pour tout réel strictement positif, l'ensemble des points de l'espace tels que est une sphère dont le centre est le barycentre des points A, B et C affectés des coefficients respectifs et .
Partie B
On considère le cube ABCDEFGH d'arête de longueur 1 représenté ci-dessous.
Il n'est pas demandé de rendre le graphique avec la copie.
L'espace est rapporté au repère orthonormal .
1. Démontrer que le vecteur de coordonnées est un vecteur normal au plan (BCE).
2. Déterminer une équation du plan (BCE).
3. On note la droite perpendiculaire en E au plan (BCE).
Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
4. Démontrer que la droite est sécante au plan (ABC) en un point R, symétrique de B par rapport à A.
5. a) Démontrer que le point D est le barycentre des points R, B et C affectés des coefficients respectifs et 2.
b) Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'ensemble des points de l'espace tels que .
c) Démontrer que les points B, E et G appartiennent à l'ensemble .
d) Démontrer que l'intersection du plan (BCE) et de l'ensemble est un cercle dont on précisera le rayon.
5 points
exercice 3 - Enseignement de spécialité
Partie A : Restitution organisée de connaissances
Démontrer le théorème de Gauss en utilisant le théorème de Bézout.
Partie B
On rappelle la propriété connue sous le nom de petit théorème de Fermat :
«Si est un nombre premier et un entier naturel premier avec , alors ».
On considère la suite définie pour tout entier naturel non nul par :
.
1. Calculer les six premiers termes de la suite.
2. Montrer que, pour tout entier naturel non nul, est pair.
3. Montrer que, pour tout entier naturel pair non nul, est divisible par 4.
On note (E) l'ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite .
4. Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils à l'ensemble (E) ?
5. Soit un nombre premier strictement supérieur à 3.
a) Montrer que : et .
b) En déduire que .
c) Le nombre appartient-il à l'ensemble (E) ?
6 points
exercice 4
Partie A
On considère la fonction définie sur par
.
1. Étudier les variations de la fonction .
2. Déterminer le signe de suivant les valeurs de .
3. En déduire que pour tout de , .
Partie B
On considère la fonction définie sur [0 ; 1] par
.
La courbe représentative de la fonction dans le plan muni d'un repère orthonormal est donnée en annexe.
Cette annexe sera complétée et remise avec la copie à la fin de l'épreuve.
On admet que est strictement croissante sur [0 ; 1].
1. Montrer que pour tout de [0 ; 1], .
2. Soit (D) la droite d'équation .
a) Montrer que pour tout de [0 ; 1], .
b) Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe sur [0 ; 1].
3. a) Déterminer une primitive de sur [0 ; 1].
b) Calculer l'aire, en unités d'aire, du domaine du plan délimité par la courbe , la droite (D) et les droites d'équations et .
Partie C
On considère la suite définie par :
1. Construire sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.
2. Montrer que pour tout entier naturel , .
3. En déduire que la suite est convergente et déterminer sa limite.
Publié par Cel/
le
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