Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Amérique du Sud - Session Novembre 2011

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle ]-1 ; + $\infty$ [ par : $f(x) = 3 - \dfrac{4}{x + 1}$ . On considère la suite définie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $\left\lbrace \begin{array}{l c l} u_{0} &=& 4 \\ u_{n+1} &=& f \left(u_{n}\right) \end{array}\right.$
1. On a tracé, en annexe 1, la courbe $\mathcal{C}$ représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0 ; + $\infty$ [ et la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = x$ . Annexe 1 :

Bac scientifique Amérique du Sud Novembre 2011 - terminale : image 1

    a) Sur le graphique en annexe 1, placer sur l'axe des abscisses, $u_{0}$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ et $u_{3}$ . Faire apparaître les traits de construction.
    b) Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la convergence de la suite $\left(u_{n}\right)$ ?

2. Dans cette question, nous allons démontrer les conjectures formulées à la question 1. b)
    a) Démontrer par un raisonnement par récurrence que $u_{n} \ge 1$ pour tout $n \in \mathbb{N}$ .
    b) Montrer que la fonction $f$ est croissante sur [0 ; + $\infty$ [. En déduire que pour tout entier naturel $n$ , on a : $u_{n+1} \le u_{n}$ .
    c) Déduire des questions précédentes que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et calculer sa limite.

4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Une urne contient trois dés équilibrés. Deux d'entre eux sont verts et possèdent six faces numérotées de 1 à 6. Le troisième est rouge et possède deux faces numérotées 1 et quatre faces numérotées 6.
On prend un dé au hasard dans l'urne et on le lance. On note :
    $V$ l'évènement : «le dé tiré est vert»
    $R$ l'évènement : «le dé tiré est rouge»
    $S_{1}$ l'évènement : «on obtient 6 au lancer du dé».

1. On tire au hasard un dé et on effectue un lancer de celui-ci.
    a) Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

Bac scientifique Amérique du Sud Novembre 2011 - terminale : image 2

    b) Calculer la probabilité $P\left(S_{1}\right)$ .

2. On tire au hasard un dé de l'urne. On lance ensuite ce dé $n$ fois de suite. On note $S_{n}$ l'évènement : «on obtient 6 à chacun des $n$ lancers».
    a) Démontrer que: $P\left(S_{n}\right) = \dfrac{2}{3} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^n + \dfrac{1}{3} \times \left(\dfrac{2}{3} \right)^n$ .
    b) Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $p_{n}$ la probabilité d'avoir tiré le dé rouge, sachant qu'on a obtenu le numéro 6 à chacun des $n$ lancers.
Démontrer que : $p_{n} = \dfrac{1}{2 \times \left(\frac{1}{4} \right)^n + 1 }$ .
    c) Déterminer le plus petit entier $n_{0}$ tel que $p_{n} \ge 0,999$ pour tout $n \ge n_{0}$ .

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = x^2(1 - \ln x)$ .

Partie A - Étude de la fonction $g$

1. Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$ .

2. Déterminer la limite de $g$ en 0.

3. Étudier les variations de la fonction $g$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

4. En utilisant les résultats précédents, étudier le signe de la fonction $g$ sur l'intervalle ]0 ; + $\infty$ [.

Partie B - Représentation graphique et aire sous la courbe

Soit $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ .

1. Tracer $\mathcal{C}$ dans le repère orthonormal ayant pour unité graphique 5 cm et donné en annexe 2. Annexe 2 :

Bac scientifique Amérique du Sud Novembre 2011 - terminale : image 3

2. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1. La tracer sur le graphique.

3. Calculer l'aire en unités d'aire du domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}$ , l'axe des abscisses et les droites d'équations respectives $x = 1$ et $x = \text{e}$ .

3 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

1. Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2 - 2z + 5 = 0$ .
2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ d'unité graphique 2 cm.
On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives $z_{\text{A}}$ , $z_{\text{B}}$ , $z_{\text{C}}$ et $z_{\text{D}}$ où : $z_{\text{A}} = 1 + 2\text{i},\quad z_{\text{B}} = \overline{z_{\text{A}}},\quad z_{\text{C}} = 1 + \sqrt{3} + \text{i},\quad z_{\text{D}} = \overline{z_{\text{C}}}$ .
    a) Placer les points A et B dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ .
    b) Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{C}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{C}}}$ et donner le résultat sous forme algébrique.
    c) En déduire la nature du triangle ABC.

3. Démontrer que les points A, B, C et D appartiennent à un même cercle $\Gamma$ dont on précisera le centre et le rayon.

4. Construire les points C et D dans le repère $(O ; \vec{u},\vec{v})$ . Expliquer la construction proposée.

5 points

exercice 5 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ . On considère le point A de coordonnées $(-1 ; -1 ; 1)$ et les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ de représentations paramétriques : $\mathcal{D}\:\left\lbrace \begin{array}{l c l} x&=&\phantom{-}2t - 1 \\ y&=&-3t + 2 \\ z&=&\phantom{-2}t \end{array}\right.$ où $t \in \mathbb{R}$ $\mathcal{D}'\:\left\lbrace\begin{array}{l c l} x&=&3t' \\ y&=&\phantom{3}t' + 2 \\ z&=&3t' - 2 \end{array}\right.$ où $t' \in \mathbb{R}$
Proposition 1 : «Le point A appartient à la droite $\mathcal{D}$ ».
Proposition 2 : «Le plan perpendiculaire à la droite $\mathcal{D}$ passant par le point O a pour équation : $2x - 3y + z = 0$ ».
Proposition 3 : «Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont orthogonales».
Proposition 4 : «Les droites $\mathcal{D}$ et $\mathcal{D}'$ sont coplanaires».
Proposition 5 : «La distance du point A au plan d'équation $2x - 3y + z = 0$ est $\dfrac{\sqrt{14}}{7}$ ».

5 points

exercice 5 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une justification de la réponse choisie. Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point. Toutefois, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

Proposition 1 : «Le reste de la division euclidienne de $2011^{2011}$ par 7 est 2».

Soit $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs non nuls.
Proposition 2 : «S'il existe un couple de nombres entiers relatifs $(u, v)$ tel que $ua + vb = 3$ , alors PGCD $(a, b) = 3$ ».

Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à 5.
Proposition 3 : «L'entier $n^2 - 3n - 10$ n'est jamais un nombre premier».

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .

On considère le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$ .
Soit A le point de coordonnées $(-2 ; -1 ; \gamma)$ .
Proposition 4 : «Il existe un unique réel $\gamma$ tel que le point A appartient au cône $\Gamma$ ».

On coupe le cône $\Gamma$ d'équation $x^2 + y^2 = 5z^2$ par le plan $\mathcal{P}_{a}$ d'équation $x = a$ où $a \in \mathbb{R}$ .
Proposition 5 : «Cette intersection peut être la réunion de deux droites».

Publié par TP/ le 30-11--0001

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