Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Septembre 2011 - Polynésie Française

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

Les 300 personnes travaillant dans un immeuble de bureaux de trois niveaux ont répondu aux deux questions suivantes :
    « À quel niveau est votre bureau ? »
    « Empruntez-vous l'ascenseur ou l'escalier pour vous y rendre ? »
Voici les réponses :
    225 personnes utilisent l'ascenseur et, parmi celles-ci, 50 vont au 1^er niveau, 75 vont au 2^ème niveau et 100 vont au 3^ème niveau.
    Les autres personnes utilisent l'escalier et, parmi celles-ci, un tiers va au 2^ème niveau, les autres vont au 1^er niveau.
On choisit au hasard une personne de cette population.
On pourra considérer les évènements suivants :
   - N₁ : « La personne va au premier niveau. »
   - N₂ : « La personne va au deuxième niveau. »
   - N₃ : « La personne va au troisième niveau. »
   - E : « La personne emprunte l'escalier. »

1. Traduire l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.

2. a) Montrer que la probabilité que la personne aille au 2^ème niveau par l'escalier est égale à $\dfrac{1}{12}$ .
    b) Montrer que les évènements N₁, N₂ et N₃ sont équiprobables.
    c) Déterminer la probabilité que la personne emprunte l'escalier sachant qu'elle va au 2^ème niveau.

3. On interroge désormais 20 personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui, aux 20 personnes interrogées, associe le nombre de personnes allant au 2^ème niveau.
    a) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ .
    b) Déterminer, à 10^-4 près, la probabilité que 5 personnes exactement aillent au 2^ème niveau.
    c) En moyenne sur les 20 personnes, combien vont au 2^ème niveau?

4. Soit $n$ un entier inférieur ou égal à 300. On interroge désormais $n$ personnes de cette population. On suppose que leurs réponses sont indépendantes les unes des autres.
Déterminer le plus petit entier $n$ strictement positif tel que la probabilité de l'évènement « au moins un personne va au 2^ème niveau » soit supérieure ou égale à 0,99.

4 points

exercice 2

Partie A

On rappelle que pour tous les points E et F de l'espace, $\text{EF}^2 = \overrightarrow{\text{EF}}^2 = \overrightarrow{\text{EF}} \cdot \overrightarrow{\text{EF}}$ .

Soient A et B deux points distincts de l'espace et I le milieu de [AB].

1. Démontrer que, pour tout point $\text{M}$ de l'espace, on a : $\text{MA}^2 + \text{MB}^2 = 2\text{MI}^2 + \dfrac{1}{2} \text{AB}^2$ .
2. Déterminer la nature de l'ensemble (E) des points $\text{M}$ de l'espace tels que $\text{MA}^2 + \text{MB}^2 = \text{AB}^2$ .

Partie B

L'espace est rapporté à un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j},\vec{k})$ .
On considère les plans (P) et (Q) d'équations respectives : $3x + 4y + z - 1 = 0$ et $x - 2y - z + 5 = 0$ et les points A et B de coordonnées respectives (-1 ; 0 ; 4) et (3 ; -4 ; 2).

1. Montrer que les plans (P) et (Q) sont sécants.
On nomme $(\Delta)$ la droite d'intersection des plans (P) et (Q).
    a) Montrer que le point A appartient à la droite $(\Delta)$ .
    b) Montrer que $\vect{u}$ (1 ; -2 ; 5) est un vecteur directeur de la droite $(\Delta)$ .
    c) Déterminer un système d'équations paramétriques de la droite $(\Delta)$ .

2. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Soit (E) l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\text{MA}^2 + \text{MB}^2 = \text{AB}^2$ .
Déterminer l'ensemble des points d'intersection de (E) et de la droite $(\Delta)$ . On précisera les coordonnées de ces points.

5 points

exercice 3

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct $(O ; \vec{u},\vec{v})$ . L'unité graphique est 1 cm.
On désigne par A, B et C les points d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 - 3\text{i}$ , $z_{\text{B}} = \text{i}$ et $z_{\text{C}} = 6 - \text{i}$ .
On réalisera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

Partie A

1. Calculer $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$ .

2. En déduire la nature du triangle ABC.

Partie B

On considère l'application $f$ qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ distincte de i, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z' = \dfrac{\text{i}(z - 2 + 3\text{i})} {z - \text{i}}$

1. Soit D le point d'affixe $z_{\text{D}} = 1 - \text{i}$ . Déterminer l'affixe du point D' image du point D par $f$ .

2. a) Montrer qu'il existe un unique point, noté E, dont l'image par l'application $f$ est le point d'affixe 2i.
b) Démontrer que E est un point de la droite (AB).

3. Démontrer que, pour tout point $\text{M}$ distinct du point B, $\text{0M}' = \dfrac{\text{AM}}{\text{BM}}$ .

4. Démontrer que, pour tout point $\text{M}$ distinct du point A et du point B, on a l'égalité : $\left(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{\text{OM}'} \right) = \left(\overrightarrow{\text{BM}}, \overrightarrow{\text{AM}} \right) + \dfrac{\pi}{2}$ à $2 \pi$ près.

5. Démontrer que si le point $\text{M}$ appartient à la médiatrice du segment [AB] alors le point $\text{M}'$ appartient à un cercle dont on précisera le centre et le rayon.

6. Démontrer que si le point $\text{M}'$ appartient à l'axe des imaginaires purs, privé du point B, alors le point $\text{M}$ appartient à la droite (AB).

6 points

exercice 4

Partie A Question de cours

Soit I un intervalle de $\mathbb{R}$ .
Soient $u$ et $v$ deux fonctions continues, dérivables sur I telles que les fonctions dérivées $u^{\prime}$ et $v^{\prime}$ soient continues sur I.
Rappeler et démontrer la formule d'intégration par parties sur un intervalle $[a ; b]$ de I.

Partie B

On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x - 1)^2 \text{e}^{-x}$ et $g(x) = \dfrac{3}{2}(x - 1)^2$ . On note respectivement $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ les courbes représentatives de $f$ de $g$ dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O ; \vec{i},\vec{j})$ .
Les courbes sont tracées en annexe ci-dessous.

Bac scientifique Polynésie Française Septembre 2011 - terminale : image 1

1. a) Déterminer les coordonnées des points communs à $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ .
b) Donner les positions relatives de $\mathcal{C}_{1}$ et $\mathcal{C}_{2}$ sur $\mathbb{R}$ .

2. a) À l'aide de deux intégrations par parties successives, déterminer $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$ .
b) Calculer, en unités d'aire, l'aire de la partie du plan limitée par les courbes $\mathcal{C}_{1}$ , $\mathcal{C}_{2}$ et les droites d'équations $x = 0$ et $x = 1$ .

Partie C

On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n} = \int_{0}^1 (x - 1)^{2n} \text{e}^{- x}\:\text{d}x$ .
1. a) Démontrer que, pour tout $x$ de [0 ; 1] et pour tout entier naturel $n$ non nul, $0 \le (x - 1)^{2n} \text{e}^{- x} \le (x - 1)^{2n}$ .
b) Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ non nul, on a : $0 \le u_{n} \le \dfrac{1}{2n + 1}$ .

2. En déduire que la suite $\left(u_{n}\right)$ est convergente et déterminer sa limite.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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