Fiche de mathématiques

Bac 2011

Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des Systèmes d'Information.
La Réunion - Session Juin 2011

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

3 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, une seule des trois réponses proposées est correcte.
Relever sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.
Une réponse juste rapporte un point; une réponse fausse enlève 0,25 points et l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Si le total des points est négatif, alors la note attribuée à l'exercice est ramenée à 0.

1. Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; +\infty[$ par $f(x) = -x + 10 + 2\ln x$ . L'image de 1 par $f$ est :

a) $f(1) = 11$

b) $f(1) = 9$

c) $f(1) = 13$

2. La fonction dérivée de $f$ est la fonction $f'$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par :

a) $f'(x) = \dfrac{2}{x }$ .

b) $f'(x) = \dfrac{-x+ 2}{x}$

c) $f'(x) = \dfrac{10}{x}$

3. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = \dfrac{-x + 10}{\text{e}^x}$ . La tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point d'abscisse 0 a un coefficient directeur égal à :

a) 9

b) 10

c) - 11

5 points

exercice 2

Dans une entreprise, les salariés ont entre 18 et 60 ans. 30% d'entre eux ont entre 18 et 34 ans. 48% des salariés âgés de 18 à 34 ans fument. Parmi les plus de 34 ans, 23% sont fumeurs.
L'infirmière de l'entreprise a créé pour chaque salarié une fiche sur laquelle figure son âge et s'il est fumeur ou non.
On choisit au hasard une fiche dans ce fichier.
On définit les évènements suivants:
A «La fiche est celle d'un salarié âgé de 18 à 34 ans».
F «La fiche est celle d'un fumeur».

1. Définir à l'aide d'une phrase en français l'évènement A puis calculer la probabilité de cet évènement.

2. Reproduire sur la copie et compléter l'arbre de probabilité ci-dessous: Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La réunion Juin 2011 - terminale : image 1

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La réunion Juin 2011 - terminale : image 1

3. Calculer la probabilité de l'évènement «La fiche choisie est celle d'un salarié fumeur âgé de 18 à 34 ans».

4. Montrer que la probabilité de l'évènement F est égale à 0,305.

5. Sachant que la fiche choisie est celle d'un fumeur, calculer la probabilité que ce soit celle d'un salarié de plus de 34 ans. En donner une valeur approchée arrondie à 10^-3 près.

6 points

exercice 3

Partie A

On s'intéresse à l'évolution du prix d'un paquet de cigarettes et du nombre de ventes de cigarettes en France entre 2000 et 2009. Le tableau ci-dessous (annexe 1, à rendre avec la copie), donne le prix et les ventes de cigarettes de la marque la plus vendue ainsi que les indices de ces ventes en prenant 2000 comme année de référence.
Tableau 1

	A	B	C	D
1	Année	Prix d'un paquet de cigarettes en euros	Ventes de cigarettes (en millions d'unités)	Indice des ventes de cigarettes, arrondi à l'unité
2	2000	3,20	82 514	100
3	2001	3,35	83 464	101
4	2002	3,60	80 529
5	2003	4,10	69 648	84
6	2004	5,00		67
7	2005	5,00	54 801	66
8	2006	5,00	55 772	68
9	2007	5,10	54 945	67
10	2008	5,30	53 589	65
11	2009	5,35	54 980	67

(Source: Altadis, filière de distribution de tabac en France métropolitaine hors Corse
Les cellules de la colonne B sont au format nombre à deux décimales.

Les pourcentages demandés seront arrondis à 0,1%.

1. Compléter le tableau 1 de l'annexe 1, en calculant l'indice correspondant à l'année 2002 et le montant des ventes en 2004. On justifiera les calculs sur la copie.

2. Ce tableau ayant été réalisé à l'aide d'un tableur, donner la formule qui, entrée en cellule D3, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir le contenu des cellules de la plage D3 : D11.

3. Calculer, en pourcentage, le taux d'évolution du prix des cigarettes entre 2000 et 2009.

Partie B

Dans cette partie, on s'intéresse à l'évolution du nombre de fumeurs et du prix du tabac à partir de l'année 2010.
Dans une ville moyenne il y a 5 000 fumeurs en 2010. Cette même année, le paquet de cigarettes coûte 5,60 €. On peut lire dans certains articles de journaux qu'une augmentation de 10% du prix des cigarettes ferait diminuer le nombre de fumeurs de 3 à 4%.
Pour déterminer l'évolution correspondante du prix des cigarettes et du nombre de fumeurs, on modélise le prix d'un paquet de cigarettes et le nombre de fumeurs d'une ville moyenne la même année par deux suites.
Pour tout entier naturel $n$ , $u_{n}$ désigne le prix, en euros, d'un paquet de cigarettes de la marque la plus vendue pendant l'année 2010 + $n$ et $v_{n}$ le nombre de fumeurs la même année.
En 2010, on a donc $u_{0} = 5,60$ et $v_{0} = 5000$ .
On considère que le prix des cigarettes augmente de 10% par an et que le nombre de fumeurs diminue de 4% par an.

1. Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est géométrique de raison 1,1.

2. Exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$ et calculer le prix d'un paquet de cigarettes en 2020.

3. On admet que la suite $\left(v_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison 0,96. On utilise un tableur pour calculer les termes des deux suites. La feuille de calcul obtenue est représentée par le tableau 2.
Tableau 2 (il n'est pas à compléter)
Évolution du nombre de fumeurs et du prix du tabac à partir de l'année 2010

	A	B	C	D
1	Année	$n$	Prix d'un paquet $u_{n}$	Nombre de fumeurs $v_{n}$
2	2010	0	5,6	5 000
3	2011	1	6,2	4 800
4	2012	2	6,8	4 608
5	2013	3	7,5	4 424
6	2014	4	8,2	4 247
7	2015
8	2016
9	2017
10	2018
11	2019

Les cellules de la colonne C sont au format nombre à une décimale.
Les cellules de la colonne D sont au format nombre à 0 décimale.

Donner une formule qui, entrée en cellule D3, permet, par recopie vers le bas, d'obtenir le contenu des cellules de la plage D3 : D11.

4. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.

À partir de quelle année le nombre de fumeurs aura-t-il diminué de moitié et quel sera alors le prix d'un paquet de cigarettes si l'on considère que l'on garde le même type d'évolution?

6 points

exercice 4

Le tableau suivant donne l'évolution du prix d'un article de consommation courante entre le 1^er janvier 2000 et le 1^er janvier 2009.

Année	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Rang de l'année : $x_{i}$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Prix en euros : $y_{i}$	72	79	85	88	97	106	119	132	144	153

Partie A

Le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ , pour $i$ variant de 0 à 9, est donné ci-dessous (annexe à rendre avec la copie). Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La réunion Juin 2011 - terminale : image 2

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information La réunion Juin 2011 - terminale : image 2

1. Déterminer par la méthode des moindres carrés, à l'aide de la calculatrice, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ (arrondir les coefficients au millième).

2. On décide d'ajuster le nuage avec la droite $\mathcal{D}$ d'équation $y = 9,2x + 66$ .
    a) Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique de l'annexe, à rendre avec la copie.
    b) En utilisant cet ajustement affine, donner une estimation du prix de cet article le 1^er janvier 2011.
    c) Selon cet ajustement, au cours de quelle année l'article coûtera-t-il plus de 200 € ?

3. a) Calculer, en pourcentage, le taux d'évolution du prix en euros de cet article entre le 1^er janvier 2000 et le 1^er janvier 2009.
    b) Calculer, en pourcentage, le taux annuel moyen d'évolution du prix en euros de cet article entre le 1^er janvier 2000 et le 1^er janvier 2009 (arrondir à 0,1 % près).

Partie B

On décide de modéliser l'évolution du prix de cet article au cours du temps, à partir du 1^er janvier 2000, par la fonction $f$ définie par $f(x) = 72 \times 1,087^x$ . Ainsi :

$x$ est le temps écoulé depuis le 1^er janvier 2000, l'unité de temps étant l'année.

$f(x)$ est une estimation du prix de l'article lorsqu'il s'est écoulé un temps $x$ après le premier janvier 2000. Par exemple $f(2,25)$ est une estimation, avec ce modèle, du prix de l'article le 1^er avril 2002.

1. En utilisant ce modèle, estimer le prix, arrondi à l'unité, de l'article le 1^er janvier 2011 puis le 1^er juillet 2011.

2. En utilisant ce modèle, au cours de quelle année l'article coûtera-t-il plus de 200 € ? Préciser le mois.

Partie C

En réalité, entre le 1^er janvier 2009 et le 1^er janvier 2011 le prix de l'article a augmenté de 15%. Quel modèle donne la meilleure estimation du prix de cet article le 1^er janvier 2011 ?

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