Fiche de mathématiques

Bac 2011

Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des Systèmes d'Information.
Antilles Guyane - Session Juin 2011

Mercatique, comptabilité et finance d'entreprise
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

Gestion des systèmes d'information
Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 4

Calculatrice autorisée, conformément à la circulaire n°99-186 du 16 novembre 1999.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il sera tenu compte de la clarté des raisonnements et de la qualité de la rédaction dans l'appréciation des copies.

5 points

exercice 1

On étudie l'évolution du montant brut horaire du SMIC au 1^er janvier de chaque année, à partir de 2002. On note $x_{i}$ le rang de l'année (2002 + $i$ ) où $i$ est un entier naturel. On obtient les résultats suivants :

Année	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Rang de l'année $\left(x_{i}\right)$	0	1	2	3	4	5	6	7	8
Montant du SMIC horaire en euros $\left(y_{i}\right)$	6,67	6,83	7,19	7,61	8,03	8,27	8,44	8,71	8,86

(Source : INSEE)

1. a) Déterminer le taux d'évolution du montant brut horaire du SMIC entre le 1^er janvier 2002 et le 1^er janvier 2010 (On donnera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi au dixième).
    b) En déduire le taux moyen annuel d'évolution du montant brut horaire du SMIC pendant ces 8 années. (On donnera le résultat sous forme d'un pourcentage arrondi au dixième).

2. a) Tracer le nuage de points dans un repère orthogonal d'unités graphiques: 2 cm pour 1 an sur l'axe des abscisses ; 2 cm pour 1 € sur l'axe des ordonnées.
    b) Déterminer les coordonnées du point moyen $G$ du nuage (on arrondira son ordonnée au centième) et le placer dans le repère.

3. a) À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de $y$ en $x$ , par la méthode des moindres carrés, sous la forme $y = ax + b$ (on arrondira les coefficients $a$ et $b$ au centième). Tracer cette droite dans le repère précédent.
    b) Calculer le montant brut horaire du SMIC que ce modèle laisse prévoir pour le 1^er janvier 2014.

4 points

exercice 2

Une entreprise de téléphonie fixe propose différentes options à ses clients, combinant téléphone illimité ou non, Internet illimité ou non.
On sait que $\dfrac{3}{5}$ de ses clients choisissent l'accès à Internet illimité. Parmi ceux-ci, 9 clients sur 10 prennent également le téléphone illimité.
Parmi les clients qui ne choisissent pas l'accès à Internet illimité, seuls 3 clients sur 10 demandent le téléphone illimité.
On choisit au hasard la fiche d'un client. On appelle $P$ la probabilité associée à cette expérience aléatoire.
On note :
$I$ l'évènement : «ce client a choisi l'accès à Internet illimité»,
$T$ l'évènement : «ce client a choisi l'accès au téléphone illimité».
On note $\overline{I}$ l'évènement contraire de l'évènement $I$ et $\overline{T}$ l'évènement contraire de l'évènement $T$ .

1. Compléter l'arbre pondéré fourni ci-dessous qui traduit cette situation. Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 1

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 1

2. a) Définir par une phrase les évènements $I \cap \overline{T}$ et $I \cup T$ .
    b) Quelle est la probabilité qu'un client ait choisi l'accès à Internet illimité et le téléphone illimité ?
    c) Calculer la probabilité $P\left(\overline{I} \cap T\right)$ de l'évènement $\overline{I} \cap T$ .
    d) Calculer la probabilité $P(T)$ de l'évènement $T$ .

3. Calculer la probabilité que le client n'ait pas l'accès à Internet illimité sachant qu'il a le téléphone illimité. On arrondira le résultat au centième.

6 points

exercice 3

On considère la fonction $C$ définie sur l'intervalle [2 ; 30] par : $C(x) = 12x + 22 - 25\ln (x)$ . Une usine de composants électroniques fabrique des haut-parleurs.
Le coût de production, en milliers d'euros, de $x$ centaines de haut-parleurs est égal à $C(x)$ ; $x$ est compris entre 2 et 30.

1. Sachant qu'une centaine de haut-parleurs est vendue 10 milliers d'euros, donner (en milliers d'euros) le prix de vente de $x$ centaines de haut-parleurs.

On considère la fonction $B$ définie sur l'intervalle [2 ; 30] par $B(x) = -2x - 22 + 25 \ln (x)$ .

2. Montrer que le bénéfice, en milliers d'euros, réalisé sur la vente de $x$ centaines de haut-parleurs est égal à $B(x)$ .

3. On admet que $B$ est dérivable sur l'intervalle [2 ; 30]. On note $B'$ sa fonction dérivée.
    a) Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [2 ; 30], $B'(x) = \dfrac{25 - 2x}{x}$ .
    b) Étudier le signe de $B'(x)$ .
    c) En déduire le tableau de variation de la fonction $B$ .
    d) Pour quelle quantité de haut-parleurs vendue le bénéfice est-il maximal ?

4. a) Compléter le tableau de valeurs donné ci-dessous.

$x$	2	4	6	10	12,5	14	20	24	30
$B(x)$

b) Tracer dans le repère fourni ci-dessous la courbe représentative de la fonction $B$ . Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 2

Bac STG Mercatique, Comptabilité et Finance d'Entreprise, Gestion des systèmes d'information Antilles Guyane Juin 2011 - terminale : image 2

5. En utilisant le graphique, déterminer pour quelles quantités produites le bénéfice est supérieur à 10 000 €.

5 points

exercice 4

Un institut démographique étudie les populations respectives de deux villes A et B.

Partie 1

La ville A compte une population de 34 000 habitants en 2007. On observe depuis que chaque année, sa population augmente de 3%.
On note $u_{0} = 34000$ le nombre d'habitants de la ville A au 1^er janvier 2007, et $u_{n}$ le nombre de ses habitants au 1^er janvier de l'année (2007 + $n$ ).
On arrondira au besoin les nombres d'habitants à l'unité.

1. Vérifier que $u_{1} = \35020$ puis calculer $u_{2}$ .
    a) Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_{n}$ .
    b) En déduire la nature de la suite $\left(u_{n}\right)$ .
    c) Déterminer alors $u_{n}$ en fonction de $n$ .

2. Selon ce modèle :
    a) Calculer la population de la ville A au 1^er janvier 2012.
    b) À partir de quelle année la population de la ville A dépassera-t-elle 50 000 habitants ?

Partie II

La ville B, qui comptait 45 000 habitants au 1^er janvier 2007, perd chaque année 500 habitants.
On note $v_{0}$ le nombre d'habitants de la ville B au 1^er janvier 2007, et $v_{n}$ le nombre d'habitants au 1^er janvier de l'année (2007 + $n$ ).
On a ainsi $v_{0} = \45000$ .

1. Montrer que $v_{1} = 44500$ puis calculer $v_{2}$ .

2. a) Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $v_{n+1}$ en fonction de $v_{n}$ ·
b) En déduire la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ .
c) Déterminer alors $v_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Selon ce modèle, calculer la population de la ville B au 1^er janvier 2012.

Partie III

On rappelle que la population de la ville A augmente chaque année de 3% et que la ville B perd chaque année 500 habitants.
On donne, ci-dessous, un extrait d'une feuille de calcul :

	A	B	C
1	$n$	Ville A	Ville B
2	0	34 000	45 000
3	1
4	2
5	3
6	4
7	5

1. a) Quelle formule faut-il entrer dans la cellule B3 et recopier vers le bas pour compléter la plage de cellules B4 : B7 ?
b) Quelle formule faut-il entrer dans la cellule C3 et recopier vers le bas pour compléter la plage de cellules C4 : C7 ?

2. À partir de quelle année, la population de la ville A sera-t elle supérieure à celle de la ville B ?

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