Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Métropole - La Réunion - Session Juin 2011
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Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2
L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.
8 points
exercice 1
Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.
1. Les 32 employés d'une entreprise se répartissent de la façon suivante: 18 ouvriers, 6 cadres et 8 techniciens.
14 employés ont plus de 40 ans. Parmi les techniciens, 3 ont plus de 40 ans.
On interroge au hasard un technicien. La probabilité qu'il ait moins de 40 ans est égale à :
a)
b)
c)
2. On interroge au hasard un employé de l'entreprise considérée à la question 1. La probabilité que ce ne soit ni un technicien, ni une personne de plus de quarante ans est égale à :
a)
b)
c)
Dans les questions 3. et 4., on considère l'ellipse (E) représentée ci-contre dans le plan rapporté au repère orthonormal (O ; ,).
3. 3. L'ellipse (E) a pour équation:
a)
b)
c)
4. Un des foyers de l'ellipse (E) a pour coordonnées:
a) (4 ; 0)
b) (2 ; 0)
c) (0 ; 4)
5. Soit l'ensemble des solutions dans l'intervalle de l'équation , alors:
a)
b)
c)
6. L'équation a pour solution :
a)
b)
c)
7. Une primitive de la fonction définie sur est la fonction définie sur par :
a)
b)
c)
8. Soit la fonction définie sur par . Sa courbe représentative dans un repère du plan admet pour asymptote en , la droite d'équation :
a)
b)
c)
12 points
exercice 2
Partie 1
La courbe donnée en annexe (à rendre avec la copie) est la représentation graphique d'une fonction définie sur l'intervalle [1 ; 3] dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O et d'unité graphique 5 cm.
On suppose que la fonction est dérivable sur l'intervalle [1 ; 3] et on désigne par sa fonction dérivée.
Les données sont les suivantes :
(1) : La courbe passe par les points A, B et D d'abscisses respectives 1, 2 et 3. Les points A, A', B' et D' ont des coordonnées entières.
(2) : La droite (BE), parallèle à l'axe des abscisses, est tangente en B à la courbe .
(3) : La droite (AB') est tangente en A à la courbe .
On répondra aux questions ci-dessous par une lecture graphique. De ce fait, certains résultats seront arrondis au dixième.
1. Déterminer , et .
2. a) Déterminer une équation de la droite (AB').
b) Déterminer et .
3. Dresser le tableau des variations de la fonction et préciser le signe de sa dérivée .
4. Déterminer l'aire du triangle AA'B' en unités d'aires.
Partie 2
1. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Vérifier que la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 3] par ( désigne la fonction logarithme népérien) satisfait aux données (2) et (3) de la partie 1.
On suppose désormais que la fonction représentée en annexe est la fonction définie pour tout réel de l'intervalle [1 ; 3] par : .
2. Soit la fonction définie sur [1 ; 3] par : . Vérifier que est une primitive de sur l'intervalle [1 ; 3].
3. On pose . Calculer la valeur exacte de et en donner une interprétation graphique.
4. Soit la partie du plan limitée par la courbe , l'axe des abscisses, la droite (AB') et la droite (DD').
a) Hachurer et calculer son aire en unités d'aire.
b) Le domaine représente la maquette à l'échelle du logo d'une société. Calculer l'aire en cm2 de ce logo, arrondie à l'unité.
La personne interrogée est un Technicien, il figure donc parmi les 8 Techniciens de l'entreprise.
Sachant que seulement 3 des Techniciens ont plus de 40 ans, cela implique donc que 5 des Techniciens sur les 8 ont moins de 40 ans.
La probabilité recherchée est donc bien égale à .
2.
Explications :
L'entreprise possède 32 employés et parmi ceux-ci 14 ont plus de 40 ans, donc 18 employés ont moins de 40 ans.
Parmi ces moins de 40 ans, on a vu à la question 1 qu'il y avait 5 Techniciens (de moins de 40 ans), il reste donc 13 personnes concernées par les critères définis.
La probabilité recherchée est donc bien égale à .
Une organisation possible de cet énoncé pouvait être un tableau à double entrée.
3.
Explications :
L'axe focal de cette ellipse est l'axe des abscisses.
Une équation de cette ellipse s'écrit sous la forme : avec pour demi-grand axe et pour demi-petit axe
Par lecture graphique, le demi-grand axe est de valeur et le demi-petit axe est de valeur
ce qui donne
4.
Explications :
Une ellipse d'axe focal , de demi-grand axe et de demi-petit axe a pour foyers les points F et F' dont les coordonnées sont données par :
et avec
On a :
Les foyers ont donc pour coordonnées
5.
Explications :
6.
Explications :
7.
Explications :
8.
Explications :
La droite d'équation est bien asymptote à la courbe de la fonction en .
EXERCICE 2
Partie 1
1. Détermination de
Par lecture graphique, on obtient :
2-a. Equation de la droite
Une équation de droite non parallèle à l'axe des ordonnées s'écrit sous la forme avec m et p réels.
Graphiquement, on lit que le coefficient directeur de la droite est égal à , donc . En conséquence, l'équation est de la forme .
En écrivant ensuite que B (2 ; 0 ) appartient à cette droite, on obtient :
b. Détermination de
Si une fonction est dérivable en un point d'abscisse , alors la valeur du nombre dérivé correspond au coefficient directeur de la droite tangente à la courbe de au point d'abscisse .
Comme vu à la question 2-a, le coefficient directeur de la droite , tangente à la courbe de en , est égal à , donc .
Au point d'abscisse , la tangente à la courbe de est horizontale, son coefficient directeur est donc nul, donc .
3. Tableau des variations de la fonction et signe de sa dérivée .
4. Aire du triangle
Partie 2
1. Vérification des critères 2 et 3 de la partie 1
Critère 2 :
La fonction est dérivable sur comme somme de fonctions dérivables sur , et on a :
L'abscisse du point est égale à , on a donc :
Le nombre dérivé de la fonction au point de la courbe d'abscisse est nul, donc :
Une remarque qui s'impose :
Critère 3 :
Une équation de la tangente à la courbe au point a pour équation :
2. Primitive de sur
Dérivons la fonction :
3. Valeur de et interprétation graphique
Pour ne prend que des valeurs positives.
Cette intégrale correspond donc à l'aire du domaine compris entre la courbe de , l'axe des abscisses et les droites d'équation et .
Représentation graphique : (non demandée)
4-a. Représentation graphique de
correspond à l'aire calculée à la question précédente (par le biais de l'intégrale ), à laquelle on soustrait la valeur de l'aire du triangle calculée à la question 4 de la partie A.
Nous avons donc :
b. Aire en cm2 du logo
L'unité graphique est de 5 cm, donc 1 unité d'aire représente 25 cm2.
La maquette est à l'échelle , les dimensions en grandeur réelle du logo seront donc 3 fois plus grandes en largeur comme en longeur, l'aire du logo sera donc fois plus grande que la surface du domaine , donc :
Publié par TP/
le
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