Fiche de mathématiques

Bac 2011

Bac Technologique - Sciences et Technologies Industrielles
Arts Appliqués
Métropole - La Réunion - Session Juin 2011

Durée de l'épreuve : 2 heures - Coefficient 2

L'usage d'une calculatrice réglementaire est autorisé durant l'ensemble de l'épreuve.
Le formulaire officiel de mathématiques est joint au sujet.
Une feuille de papier millimétré est fournie.

8 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).
Pour chaque question, trois réponses sont proposées, une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.

1. Les 32 employés d'une entreprise se répartissent de la façon suivante: 18 ouvriers, 6 cadres et 8 techniciens.
14 employés ont plus de 40 ans. Parmi les techniciens, 3 ont plus de 40 ans.
On interroge au hasard un technicien. La probabilité qu'il ait moins de 40 ans est égale à :

a) $\dfrac{5}{8}$

b) $\dfrac{1}{3}$

c) $\dfrac{5}{32}$

2. On interroge au hasard un employé de l'entreprise considérée à la question 1. La probabilité que ce ne soit ni un technicien, ni une personne de plus de quarante ans est égale à :

a) $\dfrac{3}{8}$

b) $\dfrac{22}{32}$

c) $\dfrac{13}{32}$

Dans les questions 3. et 4., on considère l'ellipse (E) représentée ci-contre dans le plan rapporté au repère orthonormal (O ; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ). bac STI arts appliqués, Métropole 2011 - terminale : image 1

bac STI arts appliqués, Métropole 2011 - terminale : image 1

3. 3. L'ellipse (E) a pour équation:

a) $25x^2 +9y^2 = 1$

b) $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$

c) $\dfrac{x^2}{5} + \dfrac{y^2}{3} = 1$

4. Un des foyers de l'ellipse (E) a pour coordonnées:

a) (4 ; 0)

b) (2 ; 0)

c) (0 ; 4)

5. Soit $S$ l'ensemble des solutions dans l'intervalle $]0 ; + \infty[$ de l'équation $\ln x = - 2$ , alors:

a) $S = 0$

b) $S = \lbrace- 2\rbrace$

c) $S = \left\lbrace\dfrac{1}{\text{e}^2}\right\rbrace$

6. L'équation $0,5 \text{e} = 4$ a pour solution :

a) $\ln 8$

b) $2\ln 4$

c) $\text{e}^8$

7. Une primitive de la fonction $h :\quad x \longmapsto x^2 + 2$ définie sur $\mathbb{R}$ est la fonction $H$ définie sur $\mathbb{R}$ par :

a) $H(x) = 2x$

b) $\dfrac{x^3}{3} + 2x + 1$

c) $x^3 + 2x$

8. Soit $f$ la fonction définie sur $]0 ; + \infty[$ par $f(x) = 2x + 1 + \dfrac{1}{x}$ . Sa courbe représentative dans un repère du plan admet pour asymptote en $+ \infty$ , la droite d'équation :

a) $x = 1$

b) $y = 0$

c) $y = 2x + 1$

12 points

exercice 2

Partie 1

La courbe $(\mathcal{C})$ donnée en annexe (à rendre avec la copie) est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [1 ; 3] dans le plan muni d'un repère orthonormé d'origine O et d'unité graphique 5 cm. bac STI arts appliqués, Métropole 2011 - terminale : image 2

bac STI arts appliqués, Métropole 2011 - terminale : image 2

On suppose que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [1 ; 3] et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.
Les données sont les suivantes :

(1) : La courbe $(\mathcal{C})$ passe par les points A, B et D d'abscisses respectives 1, 2 et 3. Les points A, A', B' et D' ont des coordonnées entières.

(2) : La droite (BE), parallèle à l'axe des abscisses, est tangente en B à la courbe $(\mathcal{C})$ .

(3) : La droite (AB') est tangente en A à la courbe $(\mathcal{C})$ .

On répondra aux questions ci-dessous par une lecture graphique. De ce fait, certains résultats seront arrondis au dixième.

1. Déterminer $f(1)$ , $f(2)$ et $f(3)$ .

2. a) Déterminer une équation de la droite (AB').
b) Déterminer $f'(1)$ et $f'(2)$ .

3. Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ et préciser le signe de sa dérivée $f'$ .

4. Déterminer l'aire du triangle AA'B' en unités d'aires.

Partie 2

1. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Vérifier que la fonction f définie sur l'intervalle [1 ; 3] par $f(x) = x - 2 \ln x$ ( $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien) satisfait aux données (2) et (3) de la partie 1.

On suppose désormais que la fonction $f$ représentée en annexe est la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [1 ; 3] par : $f(x) = x - 2\ln x$ .

2. Soit $F$ la fonction définie sur [1 ; 3] par : $F(x) = \dfrac{x^2}{2} + 2x -2x\ln x$ . Vérifier que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [1 ; 3].

3. On pose $I = \displaystyle\int_{1}^3 f(x)\:\text{d}x$ . Calculer la valeur exacte de $I$ et en donner une interprétation graphique.

4. Soit $(\mathcal{P})$ la partie du plan limitée par la courbe $(\mathcal{C})$ , l'axe des abscisses, la droite (AB') et la droite (DD').
a) Hachurer $(\mathcal{P})$ et calculer son aire en unités d'aire.
b) Le domaine $(\mathcal{P})$ représente la maquette à l'échelle $\dfrac{1}{3}$ du logo d'une société. Calculer l'aire en cm² de ce logo, arrondie à l'unité.

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