6 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Les parties B et C sont indépendantes.

On note l'ensemble des nombres réels et on considère la fonction définie sur par . On note sa courbe représentative dans un repère orthonormé .

Partie A : étude de la fonction

1. Déterminer la limite de en .
Que peut-on en déduire pour la courbe ?

2. Déterminer la limite de en .

3. On admet que est dérivable sur , et on note sa fonction dérivée.
Montrer que, pour tout réel , .

4. Étudier les variations de sur et dresser son tableau de variation sur .

Partie B : recherche d'une tangente particulière

Soit un réel strictement positif. Le but de cette partie est de rechercher s'il existe une tangente à la courbe au point d'abscisse , qui passe par l'origine du repère.

1. On appelle la tangente à au point d'abscisse . Donner une équation de .

2. Démontrer qu'une tangente à en un point d'abscisse strictement positive passe par l'origine du repère si et seulement si vérifie l'égalité .

3. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.
Démontrer que 1 est l'unique solution sur l'intervalle de l'équation .

4. Donner alors une équation de la tangente recherchée.

Partie C : calcul d'aire

Le graphique donné en Annexe 1 représente la courbe de la fonction dans un repère orthonormé . Courbe représentative de

1. Construire sur ce graphique la droite d'équation . On admet que la courbe est au-dessus de la droite . Hachurer le domaine limité par la courbe la droite , la droite d'équation et l'axe des ordonnées.

2. On pose . Montrer à l'aide d'une intégration par parties que .

3. En déduire la valeur exacte (en unités d'aire) de l'aire du domaine .


4 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct .
On réalisera sur une feuille de papier millimétré une figure en prenant pour unité 2 cm.
On complètera cette figure au fur et à mesure des questions.

On considère les points A, B et C du plan complexe d'affixes respectives    ;       ;    .

1. Placer les points A, B et C sur le graphique.

2. Calculer , en déduire la nature du triangle OAB.

3. On considère l'application qui à tout point d'affixe avec , associe le point d'affixe définie par
    a) Calculer l'affixe du point C', image de C par et placer le point C' sur la figure.
    b) Déterminer l'ensemble des points d'affixe avec , tels que .
    c) Justifier que contient les points O et C. Tracer .

4. Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète sera prise en compte dans l'évaluation.
On appelle J l'image du point A par la rotation de centre O et d'angle .
On appelle K l'image du point C par la rotation de centre O et d'angle .
On note L le milieu de [JK].
Démontrer que la médiane issue de O du triangle OJK est la hauteur issue de O du triangle OAC.


5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Soit la suite définie pour tout entier naturel non nul par

1. Calculer , et .

2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel non nul, est strictement positif.
    b) Démontrer que la suite est décroissante.
    c) Que peut-on en déduire pour la suite ?

3. Pour tout entier naturel non nul, on pose .
    a) Démontrer que la suite est géométrique. On précisera sa raison et son premier terme .
    b) En déduire que, pour tout entier naturel non nul, .

4. Soit la fonction définie sur l'intervalle par .
    a) Déterminer la limite de en .
    b) En déduire la limite de la suite .


5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Les cinq questions sont indépendantes.

1. Dans un lycée donné, on sait que 55% des élèves sont des filles. On sait également que 35% des filles et 30% des garçons déjeunent à la cantine.
On choisit, au hasard, un élève du lycée.
Quelle est la probabilité que cet élève ne déjeune pas à la cantine ?

2. Une urne contient 10 jetons numérotés de 1 à 10, indiscernables au toucher. On tire 3 jetons simultanément.
Combien de tirages différents peut-on faire contenant au moins un jeton à numéro pair?

3. Une variable aléatoire Y suit une loi binomiale de paramètres 20 et .
Calculer la probabilité que Y soit supérieure ou égale à 2. Donner une valeur approchée du résultat à 10^-3.

4. Un appareil ménager peut présenter après sa fabrication deux défauts.
On appelle A l'évènement «l'appareil présente un défaut d'apparence» et F l'évènement «l'appareil présente un défaut de fonctionnement».
On suppose que les évènements A et F sont indépendants.
On sait que la probabilité que l'appareil présente un défaut d'apparence est égale à 0,02 et que la probabilité que l'appareil présente au moins l'un des deux défauts est égale à 0,069.
On choisit au hasard un des appareils. Quelle est la probabilité que l'appareil présente le défaut F ?

5. On considère l'algorithme :
Dans l'expérience aléatoire simulée par l'algorithme précédent, on appelle X la variable aléatoire prenant la valeur C affichée.
Quelle loi suit la variable X ? Préciser ses paramètres.


5 points

exercice 4 - candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les quatre questions sont indépendantes.

1. a) Vérifier que le couple (4 ; 6) est une solution de l'équation .
    b) Déterminer tous les couples d'entiers relatifs (x ; y) vérifiant l'équation (E).

2. a) Démontrer que, pour tout entier naturel , .
    b) Déterminer le reste de la division euclidienne de par 7.

3. On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de la transformation qui à tout point d'affixe associe le point d'affixe tel que : .
4. On considère l'algorithme suivant où désigne la partie entière de .
Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ?
Que donne cet algorithme dans le cas général?