Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Santé et du Social
Session Juin 2012 - Polynésie Française

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 3
L'utilisation d’une calculatrice est autorisée.
une feuille de papier millimétré, à rendre avec la copie, est fournie au candidat.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou infructueuse, qu’il aura développée.
Par ailleurs, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

6 points

exercice 1

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Aucune justification n'est demandée.
Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Chaque réponse correcte rapporte un point. Une réponse erronée ou une absence de réponse n'ôte pas de point.
On notera sur la copie le numéro de la question, suivi de la lettre correspondant à la réponse choisie.

Partie A

Une classe de terminale ST2S comprend 18 filles et 12 garçons.
Dans cette classe, 15 élèves, dont 8 filles, se sont présentés à un concours IFSI (instituts de formation aux soins infirmiers).
On choisit au hasard un élève de cette classe.
Soit $A$ l'évènement «cet élève est un garçon».
Soit $B$ l'évènement «cet élève s'est présenté à un concours IFSI».

1. La valeur exacte de $p(A \cap B)$ est :

a) $\dfrac{7}{12}$

b) $\dfrac{7}{30}$

c) $\dfrac{7}{15}$

2. La valeur exacte de $p_{A}(B)$ est :

a) $\dfrac{7}{12}$

b) $\dfrac{7}{30}$

c) $\dfrac{7}{15}$

3. Les évènements $A$ et $B$ :

a) sont incompatibles

b) sont indépendants

c) ne sont ni incompatibles, ni indépendants.

Partie B

Dans les banques, le 1^er août 2011, le taux de rémunération annuelle du livret A est passé à 2,25%.
À cette date, on a placé une somme de 800 euros sur un livret A.
On s'intéresse à l'évolution de ce capital, en supposant que le taux de rémunération du livret A reste stable pour les dix années à venir.

1. La valeur du capital le 1^er août 2012 sera de :

a) 827 €

b) 802,25 €

c) 818 €.

2. On note $u_{0} = 800$ et $u_{n}$ le capital acquis le 1^er août de l'année $2011 + n$ .
On a entré les données suivantes dans un tableur :

	A	B	C	D	E
1	$n$	$u_{n}$
2	0	800
3	1
4	2
5	3
6	4
7	5
8	6
9	7
10	8
11	9
12	10
13

La formule à saisir dans la cellule B3, qui permettra d'afficher les valeurs de $u_{n}$ par une recopie automatique vers le bas, est :

a) $= 800 * 1,0225$

b) $= \text{B}2 * 1,0225$

c) $= \$\text{B}\$2 * 1,0225$

3. En considérant que le taux de rémunération reste constant jusqu'en 2020, la valeur du capital, arrondie au centime, le 1^er août de l'année 2020 serait :

a) 999,36 €

b) 977,37 €

c) 820,25 €.

7 points

exercice 2

Le tableau suivant donne l'espérance de vie à la naissance des hommes et des femmes ; elle est exprimée en années.

Année de naissance	Rang de l'année $x_{i}$	Espérance de vie des femmes $y_{i}$	Espérance de vie des hommes $z_{i}$
1990	0	81	72,7
1994	4	81,8	73,6
1996	6	82	74,1
1998	8	82,4	74,7
2000	10	82,8	75,3
2006	16	84,1	77,2
2009	19	84,5	77,8

Source: INSEE. Champ : France métropolitaine

Partie A :

Expliciter par une phrase ce que représente le nombre 75,3 dans le tableau ci-dessus.

Partie B :

On s'intéresse maintenant à la série des espérances de vie des femmes. 1. La feuille de papier millimétré fournie sera prise en format «paysage»
Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points de coordonnées $\left(x_{i} ; y_{i}\right)$ où $x_{i}$ représente le rang de l'année et $y_{i}$ représente l'espérance de vie des femmes à la naissance.
Unités graphiques :
    1 cm représente une unité sur l'axe des abscisses
    2 cm représentent une année sur l'axe des ordonnées.
On graduera l'axe des abscisses à partir de la valeur 0 et l'axe des ordonnées à partir de la valeur 80.

2. On note G le point moyen du nuage.
Calculer les coordonnées de G. On arrondira les résultats à 0,1 près.

3. Déterminer une équation de la droite $D$ de coefficient directeur 0,2 et qui passe par G.

4. Placer G sur le graphique et tracer la droite $D$ .
Dans cette question, on considère que la droite $D$ a pour équation $y = 0,2x + 80,9$ .
Elle réalise un bon ajustement du nuage de points. On suppose que cet ajustement reste valable au-delà de l'année 2009.
    a) En utilisant cet ajustement, déterminer graphiquement l'espérance de vie d'une femme née en 2015 en France métropolitaine.
    b) En utilisant cet ajustement, déterminer, par le calcul, l'année de naissance d'une femme qui pourra envisager une espérance de vie de 86 ans et demi.

7 points

exercice 3

Les parties de cet exercice sont indépendantes

On injecte à une femme malade une dose de médicament.
La quantité de médicament (exprimée en cm³) présente dans le sang de la malade, au bout du temps $t$ (exprimé en heures), est donnée par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 8] par : $f(t) = 3 \times 0,86^t$ .
On donne en ANNEXE, à rendre avec la copie, un graphique sur lequel figure la courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ , ainsi que la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 4.

bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Polynésie Française juin 2012 - terminale : image 1

Partie A

1. Calculer $f(1)$ . Retrouver cette valeur sur le graphique (on laissera apparents les traits de construction). Interpréter cette valeur.

2. Résoudre graphiquement l'équation $f(t) = 1,5$ . On laissera apparents les traits de construction sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.

3. a) Calculer la quantité de médicament restant dans le sang de la malade au bout de 8 heures. On arrondira ce résultat à 0,1 près.
b) Quel pourcentage représente cette quantité par rapport à la quantité initialement injectée ?

4. Déterminer, par le calcul, le temps nécessaire pour que la quantité de médicament dans le sang de la malade diminue de moitié. On donnera le résultat arrondi à 0,01 près, puis on convertira ce résultat en heures et minutes.
Quel résultat précédent retrouve-t-on ainsi ?

Partie B

Dans cette question, toute prise d'initiative, même non aboutie, sera valorisée.

On rappelle que la fonction $f^{\prime}$ fonction dérivée de la fonction $f$ , exprime la vitesse d'évolution de la quantité de médicament à un instant donné. Elle s'exprime en cm³/h.
Quel élément du graphique apporte un renseignement sur la vitesse d'évolution de la quantité de médicament au bout de 4 heures ? Donner une valeur approchée de cette vitesse d'évolution.
On laissera apparents les traits de construction sur l'ANNEXE, à rendre avec la copie.

Partie C

On injecte maintenant ce même médicament à un homme malade.
Sur l'intervalle [0 ; 8] la fonction donnant la quantité de médicament (exprimée en cm³) présente dans le sang du malade, après un temps $t$ (exprimé en heures), est du type : $g(t) = k \times a^t$ .
On souhaite déterminer les valeurs des réels $k$ et $a$ en utilisant les données suivantes:

1. La quantité injectée au malade à l'instant $t = 0$ est de 5 cm³.
En déduire la valeur du nombre réel $k$ .

2. Au bout d'une heure, la quantité de médicament présente dans le sang du malade s'élève à 4,45cm³. En déduire la valeur du nombre réel $a$ .
Conclure en donnant l'expression de $g(t)$ .

Voir la correction

exercice 1

Partie A

Une organisation possible de l'énoncé peut être réalisée à l'aide d'un tableau à double entrée, ce qui donne :

	$A$	$\overline{A}$	Total
$B$	7	8	15
$\overline{B}$	5	10	15
Total	12	18	30

1. $p(A\cap B) = \dfrac{7}{30}$ (réponse b))

2. $p_A(B)=\dfrac{7}{12}$ (réponse a))

3. $p(A\cap B)\neq 0~et~ p_A(B)\neq p(B)$ donc $A\text{ et }B$ ne sont ni incompatibles, ni indépendants. (réponse c))

Partie B

Une augmentation de 2,5 % correspond à un coefficient multiplicatif de $1+\dfrac{2,25}{100}=1,0225$

1. $800 \times 1,0225=818\?$ (réponse c))

2. réponse b)

3. On a : 2020 =2011 + 9 donc la valeur du capital sera : $800 \times (1,0225)^9 \approx 977,37$ euros (réponse b))

exercice 2

Partie A

Pour les hommes nés en 2000, l'espérance de vie est égale à 75,3 ans.

Partie B

1. Représentation du nuage :

bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Polynésie Française juin 2012 - terminale : image 2

2. Les coordonnées du point moyen $G$ sont :
$x_G=\dfrac{0+4+6+8+10+16+19}{7}=9\$ et $y_G=\dfrac{8+81,8+82+82,4+82,8+84,1+84,5}{7}\approx 82,7$
Soit : $G(9~;~82,7)$

3. Une équation de $D$ peut s'écrire $y=0,2x+b$ avec $b$ dans $\mathbb{R}$
$G(9~;~82,7)\in D$ pour $82,7=0,2 \times 9+b$ soit $b=80,9$
Une équation de $D$ est : $y=0,2x+80,9$
Pour tracer $D$ , (dont on sait qu'elle passe par $G$ ), il suffit de prendre un second point.

4. a) Voir la construction sur la figure.
Remarque : 2015 = 1990 + 25,
il s'agit donc de déterminer graphiquement l'image de $x=25$ par cet ajustement affine. On y lit que :
l'espérance de vie d'une femme née en 2015 est d'environ 85,9 ans.

4. b) Par le calcul, on cherche à déterminer le rang $x$ tel que $y=86,5$ soit :
$0,2x+80,9=86,5\text{ soit } x=28$
C'est donc l'année de rang 28, c'est à dire en 2018 qu'une femme pourra envisager une espérance de vie de 86 ans et demi.

exercice 3

Partie A

1. $f(1)=3 \times 0,86=2,58$ valeur qu'on retrouve sur le graphique.
Au bout d'une heure, la quantité de médicament présente dans le sang de la malade est de 2,58 cm³.

bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Polynésie Française juin 2012 - terminale : image 3

2. Graphiquement, si $f(t)=1,5$ alors $t \approx5,6\,\text{h}$

3. a) Au bout de 8 heures, la quantité de médicament restant dans le sang est :
$f(8)=3\times 0,86^8 \approx 0,9\,\text{cm}^3$

3. b) Remarque : la quantité initialement injectée vaut $f(0)=3 \text{ cm}^3$
Cette quantité de 0,9 cm³ par rapport à la quantité initialement injectée représente donc un pourcentage de :
$\dfrac{0,9}{3}=0,3 \text{ soit } 30\%$

4. On cherche $t$ tel que $f(t)=1,5$ soit :
$3 \times 0,86^t = 1,5\\ 0,86^t=\dfrac{1}{2}\\ t\times\ln(0,86)=\ln\dfrac{1}{2}\\ t=\dfrac{\ln\dfrac{1}{2}}{\ln(0,86)}\approx4,60 \text{ h}$
$4,60\,\text{h}=4+\dfrac{60}{100}\,\text{h}$ ; mais $\dfrac{60}{100} \text{ h}=\dfrac{60}{100}\times 60 \text{ min}$ soit 36 minutes.
Le temps nécessaire pour que la quantité de médicament dans le sang de la malade diminue de moitié est donc de 4 heures 36 minutes.
On retrouve le résultat graphique de la partie A-2.

Partie B

Sur le graphique, c'est le coefficient directeur de la tangente qui apporte un renseignement sur la vitesse d'évolution de la quantité de médicament.
Il suffit ici de lire le coefficient directeur de la tangente au point de la courbe d'abscisse $t=4.$ Pour cela, on prend deux points de la tangente (voir graphique).

bac Sciences et Technologie de la Santé et du Social, Polynésie Française juin 2012 - terminale : image 4

Par lecture graphique, le coefficient directeur de la tangente vaut environ $-\dfrac{1}{4}=-0,25$ , et la vitesse d'évolution de la quantité de médicament au bout de 4 heures est donc de -0,25 cm³ h.

Partie C

Soit $g$ définie sur [0 ; 8] par $g(t)=k\times a^t$ avec $a$ et $k$ réels.

1. Pour $t=0~,~g(0)=5$ soit $k\times a^0 = 5 \text{ et }k=5$
On obtient donc : $g(t)=5\times a^t$

2. De plus $g(1)=4,45$ soit $5\times a^1=4,45$ et $a = 0,89$
Conclusion : $g(t) = 5 \times 0,89^t$

Publié par TP/malou le 14-03-2016

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