Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de la Gestion
Spécialités : Communication et Gestion des Ressources Humaines
Session Juin 2012 - Métropole

Durée de l'épreuve : 2 heures Coefficient : 2

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.
Une feuille de papier millimétré est distribué avec le sujet.

Le sujet est composé de trois exercices indépendants.
Le candidat doit traiter tous les exercices.
La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

8 points

exercice 1

Le tableau suivant représente le nombre de créations d'entreprises,en milliers, de 2003 à 2010 dans le secteur immobilier.
Ce tableau est reproduit dans l'annexe à rendre avec la copie.

	A	B	C	D
1	Année	Rang de l'année ( $x_i$ )	Nombre de créations d'entreprises ( $y_i$ ) (en milliers)	Taux annuel d'évolution (en %)
2	2003	0	10,7
3	2004	1	13,3	24,3
4	2005	2	14,9
5	2006	3	15,4
6	2007	4	17,4
7	2008	5	17,1
8	2009	6	15,8
9	2010	7	17,8

(Source : INSEE, août 2011)
Dans la cellule D3, le nombre 24,3 est le taux annuel d'évolution de 2003 à 2004, en %, arrondi à 0,1% près.
Les parties A et B sont indépendantes.

Partie A

1. à l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite $\mathcal{D}$ qui réalise un ajustement affine du nuage de points de coordonnées $(x_i ; y_i)$ , par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à 0,001 près.

2. Dans cette question, on prendra pour équation de la droite $\mathcal{D}$ : $y=0,84x+12,35$ . En admettant que ce modèle reste valable jusqu'en 2015, à combien peut-on estimer le nombre de créations d'entreprises en 2015 ?

Partie B

1. Quelle formule doit-on entrer dans la cellule D3 et recopier sur la plage D3 : D9 pour calculer, en %, les taux annuels d'évolution du nombre de créations d'entreprises entre 2003 et 2010 ?

2. Compléter le tableau de l'annexe à rendre avec la copie.
On arrondira les résultats à 0,1% près.

3. Comment interpréter le résultat obtenu dans la cellule D8 ?

4. Déterminer le taux global d'augmentation du nombre de créations d'entreprises entre 2003 et 2010. On arrondira le résultat à 0,1% près.

5. Montrer que le taux annuel moyen d'évolution du nombre de créations d'entreprises entre 2003 et 2010, arrondi à 0,1% près, est 7,5%.

6. On considère que l'évolution du nombre d'entreprises créées à partir de 2003 est modélisée par une suite géométrique $\left( u_n \right)$ de premier terme $u_0$ = 10,7 et de raison 1,07.
$u_n$ désigne le nombre d'entreprises créées, en milliers, l'année 2003 + $n$ .
a) Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ .
b) En supposant que ce modèle reste valable jusqu'en 2015, déterminer le nombre de créations d'entreprises en 2015. On arrondira le résultat à la centaine près.

7 points

exercice 2

Une entreprise fabrique des pièces mécaniques.
On note $x$ le nombre de dizaines de pièces fabriquées au cours d'une journée.
Le coût de production, en euros, de $x$ dizaines de pièces est noté $f(x)$ . La partie de la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [4 ; 10] est donnée dans le repère de l'annexe à rendre avec la copie.

bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Métropole Juin 2012 - terminale : image 2

Lecture du graphique: si $x=6$ , l'entreprise produit 60 pièces pour un coût de 6 €

Partie A : Lecture graphique

On laissera apparents, sur le graphique de l'annexe à rendre avec la copie, les traits nécessaires à la lecture graphique.

1. à l'aide du graphique, déterminer le coût de production de 50 pièces.

2. Chaque pièce est vendue 0,3 €. On note $R(x)$ la recette de l'entreprise lorsqu'elle produit $x$ dizaines de pièces.
Expliquer pourquoi $R(x )=3x$ .

3. Représenter graphiquement la fonction $R$ dans le repère de l'annexe à rendre avec la copie.

4. Le bénéfice réalisé par l'entreprise, en fonction du nombre $x$ de dizaines de pièces vendues, est la différence entre la recette et le coût de production. On note B(x )ce bénéfice. À l'aide du graphique, déterminer à quel intervalle doit appartenir $x$ pour que l'entreprise réalise un bénéfice positif.

Partie B : Étude du bénéfice

On suppose que la fonction $f$ est définie par : $f(x)=x^2-8x +18$ sur l'intervalle [4 ; 10].

1. On rappelle que lorsque l'entreprise produit $x$ dizaines de pièces, sa recette est $R(x)=3x$ .
Vérifier que le bénéfice de l'entreprise est alors $B(x)=-x^2+11x-18$ .

2. a) $B'$ est la dérivée de la fonction $B$ . Calculer $B'(x)$ lorsque $x$ appartient à l'intervalle [4 ; 10].
b) Déterminer, en fonction de $x$ , le signe de $-2x +11$ sur l'intervalle [4 ; 10].
c) En déduire les variations de $B$ sur l'intervalle [4 ; 10].

3. Déterminer alors le nombre de pièces que l'entreprise doit produire pour réaliser un bénéfice maximum.

5 points

exercice 3

L'élection du président d'une association se fait au scrutin majoritaire à deux tours. Tout au long du scrutin, seuls les votes exprimés sont comptabilisés. Trois candidats se présentent au premier tour. Le candidat A obtient 40% des voix. Le candidat B obtient 33% des voix. Le candidat C obtient 27% des voix. On procède alors à un second tour entre les candidats A et B. Tous les votants du premier tour votent au second tour.
   Parmi les adhérents de l'association qui ont voté A au premier tour, 99% votent A au second tour.
   Parmi les adhérents de l'association qui ont voté B au premier tour, 100% votent B au second tour.
   Parmi les adhérents de l'association qui ont voté C au premier tour, 20% votent A au second tour.

Partie A

à l'issue du second tour, on interroge un adhérent de l'association choisi au hasard et on note :
   A₁ l'évènement : «cet adhérent a voté A au premier tour»
   B₁ l'évènement : «cet adhérent a voté B au premier tour»
   C l'évènement : «cet adhérent a voté C au premier tour»
   A l'évènement : «cet adhérent a voté A au second tour»
   B l'évènement : «cet adhérent a voté B au second tour»

1. Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous :

bac STG Communication et Gestion des Ressources Humaines Métropole Juin 2012 - terminale : image 1

Les questions 2., 3. et 4. constituent un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées,une seule réponse est correcte.
Pour chaque question, indiquer le numéro de la question et recopier sur la copie la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée. Chaque réponse correcte rapporte 1 point. Une réponse incorrecte ou une question sans réponse n'apporte ni ne retire aucun point.

2. La probabilité de l'évènement $C \cap A$ est :

0,2

0,29

0,054

0,02

3. La probabilité de l'évènement A est :

0,45

0,4

0,55

0,6

4. Un adhérent de l'association choisi au hasard a voté A au second tour. La probabilité que cet adhérent ait voté C au premier tour est :

$p(\text{A} \cap \text{C})$

$p_\text{A}(\text{C})$

$p_\text{C}(\text{A})$

$p(\text{A} \cup \text{C})$

Partie B

Dans cette partie toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
Un candidat est élu à l'issue du second tour de l'élection lorsqu'il obtient strictement plus de la moitié des voix.

1. Quel est le candidat élu à l'issue du second tour de l'élection ?

2. Si les adhérents qui ont voté A au premier tour avaient tous voté A au second tour, A aurait-il été élu ?

Publié par TP/ le 30-11--0001

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