Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies de Laboratoire
Spécialité : Physique de Laboratoire et de Procédés Industriels
Métropole - Session Juin 2012

Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 4
La calculatrice (conforme à la circulaire N°99-186 du 16-11-99) est autorisée.
Le formulaire officiel est autorisé.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.
Une feuille de papier millimétré est fournie avec le sujet.

5 points

exercice 1

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct $(O ; \overrightarrow{u},\overrightarrowc{v})$ d'unité graphique 1 cm.
On désigne par i le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$ .

I) On considère l'équation : $z^2 - 4\sqrt{2}z + 16 = 0$ .
Résoudre cette équation dans l'ensemble $\mathbb{C}$ des nombres complexes.

II. On considère les points A, B, C et D d'affixes respectives: $z_{\text{A}} = 4$ ,    $z_{\text{B}} = 2\sqrt{2} + 2\text{i}\sqrt{2}$ ,    $z_{\text{C}} = 2 + 2\text{i}$ et $z_{\text{D}} =1 - 3\text{i}$ .
1. a) Déterminer le module et un argument des nombres $z_{\text{A}}$ , $z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ puis donner leur expression sous la forme $r\text{e}^{\text{i}\theta}$ , $r > 0$ .
    b) Placer les points A, B, C et D dans le repère.

2. Démontrer que les points O, B et C sont alignés.

3. Quelle est la nature du triangle ACD ? Justifier la réponse.

4. Déterminer l'affixe du point E tel que ACDE soit un parallélogramme. Placer E.

5. a) Démontrer que B est l'image de A par une rotation $r$ de centre O dont on déterminera l'angle.
    b) Calculer l'affixe du point B', image de B par $r$ (on donnera le résultat sous forme algébrique). Placer le point B'.

5 points

exercice 2

Une entreprise commercialise un appareil électrique. Un client qui achète cet appareil peut l'emporter immédiatement, ou se faire livrer à domicile.

Dans le cas de la livraison, deux services sont proposés aux clients :
    livraison simple
    livraison avec mise en service
Le prix de l'appareil en magasin est de 120 ?.
En cas de livraison, les tarifs des services supplémentaires sont les suivants :
    frais de livraison :15 euros pour une livraison à une distance inférieure ou égale à 50 km ou 25 euros pour une livraison à une distance supérieure à 50 km.
    frais de mise en service : 20 euros

Une étude a été réalisée sur un lot de 1 000 appareils vendus. Le tableau suivant indique la répartition des effectifs, en fonction des choix des clients et des distances de livraison :

	Emporté	Livré de 0 à 50 km	Livré à plus de 50 km	TOTAL
Sans mise en service	550	100	50	700
Avec mise en service		200	100	300
	550	300	150	1 000

1. a) Calculer la probabilité $p_{1}$ qu'un appareil choisi au hasard dans ce lot, ait été livré avec mise en service.
    b) Calculer la probabilité $p_{2}$ qu'un appareil choisi au hasard dans ce lot, ait été livré.

2. Soit $F$ la variable aléatoire égale au montant facturé pour un appareil.
    a) Donner les cinq valeurs prises par la variable aléatoire $F$ . (Par exemple, pour un appareil livré à moins de 50 km avec mise en service, $F$ prend la valeur 155).
    b) Déterminer la loi de probabilité de $F$ .
    c) Calculer son espérance mathématique.
    d) Interpréter ce résultat.

10 points

probleme

Partie A : utilisation d'un graphique

Dans le repère orthonormé ci-dessous, la courbe $\mathcal{C}_{g}$ est la représentation graphique d'une fonction $g$ , définie sur $]0 ; +\infty[$ , que l'on se propose de déterminer. La droite $d$ est tangente à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ au point d'abscisse 1 et l'axe des ordonnées est asymptote verticale à la courbe $\mathcal{C}_{g}$ .

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1. Donner, en utilisant le graphique:
    a) le minimum de la fonction $g$ sur $]0 ; +\infty[$ et la valeur en laquelle il est atteint.
    b) le signe de la fonction $g$ sur $]0 ; +\infty[$ .
    c) la limite de $g$ en 0.

2. Expliquer pourquoi $g^{\prime}(1) = 0$ .
On admet que la fonction $g$ a pour expression : $g(x) = a x + b - \ln x$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels que l'on souhaite déterminer.
En utilisant les résultats des questions 1. a. et 2. déterminer les valeurs de $a$ et $b$ et en déduire que : $g(x) = x + 1 - \ln x$ .

Partie B : étude de la fonction $f$

Soit la fonction $f$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $f(x) = \ln x + \dfrac{\ln x}{x}$ .
On note $\mathcal{C}_{f}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormné $(O ; \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j})$ d'unité graphique 2 cm.

1. a) Déterminer la limite de $f$ en $+ \infty$ .
    b) En remarquant que $f(x) = \left(1 + \dfrac{1}{x}\right) \ln x$ , déterminer la limite de la fonction $f$ en 0.
Interpréter graphiquement le résultat.

2. a) Calculer la dérivée $f^{\prime}$ de la fonction $f$ et vérifier que, pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$ : $f^{\prime}(x) = \dfrac{g(x)}{x^2}$ .
    b) Dresser le tableau de variations de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ .

3. a) Vérifier que, pour tout $x$ de $]0 ; +\infty[$ : $f(x)= \dfrac{(x+1)\ln x}{x}$
    b) En déduire les coordonnées du point d'intersection de la courbe $\mathcal{C}_{f}$ avec l'axe des abscisses.

4. Déterminer une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}_{f}$ au point d'abscisse 1.

5. Tracer la droite $T$ et la courbe $\mathcal{C}_{f}$ dans le repère orthonormé $(O ; \overrightarrow{i},\overrightarrowc{j})$ sur une feuille de papier millimétré.

Partie C : détermination d'une aire

1. On appelle $\mathcal{A}$ la partie du plan délimitée par la courbe $\mathcal{C}_{f}$ l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 1$ et $x = e$ .
Hachurer $\mathcal{A}$ sur le graphique précédent.

2. On considère la fonction $F$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par $F(x) = x \ln x - x + \dfrac{1}{2} (\ln x)^2$ .
Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur $]0 ; +\infty[$ .

3. Déterminer la valeur de l'aire de la partie $\mathcal{A}$ du plan, exprimée en unités d'aire, puis en cm² ?

Voir la correction

EXERCICE 1

$z^2-4\sqrt{2}z+16=0$
I. Résolution dans $\mathbb{C}$

$\Delta=(-4\sqrt{2})^2-4\times 1\times 16=16\times 2-64=-32=-(2\times 16)=(4i\sqrt{2})^2\\\\x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4\sqrt{2}\pm 4i\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}\pm 2i\sqrt{2}=2\sqrt{2}(1\pm i)$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'ensemble }\mathcal{S}\text{ des solutions dans }\mathbb{C}\text{ est donc }\mathcal{S}=\lbrace2\sqrt{2}(1-i),2\sqrt{2}(1+i)\rbrace.}}}$

II. Points A, B, C et D d'affixes respectives :
$z_A=4\text{, }z_B=2\sqrt{2}+2i\text{, }\sqrt{2}\text{, }z_C=2+2i\text{, }z_D=1-3i$

1-a. Détermination des modules et arguments de $z_A\text{, }z_B\text{ et }z_C$

$\mid z_A\mid=\sqrt{x^2_A+y^2_A}=4\text{ et }z_A=4e^{i0}\\\\ \mid z_B\mid=\sqrt{x^2_B+y^2_B}=\sqrt{16}=4\text{ et }z_B=4(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2})=4(cos\dfrac{\pi}{4}+isin\dfrac{\pi}{4})=4e^{i\frac{\pi}{4}}\\\\ \mid z_C\mid=\sqrt{x^2_C+y^2_C}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\text{ et }z_C=2\sqrt{2}(\dfrac{\sqrt{2}}{2}+i\dfrac{\sqrt{2}}{2})=2\sqrt{2}(cos\dfrac{\pi}{4}+isin\dfrac{\pi}{4})=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}$

$\boxed{\textcolor{blue}{z_A=4e^{i0}\;\;z_B=4e^{i\frac{\pi}{4}}\;\;z_C=2\sqrt{2}e^{i\frac{\pi}{4}}}}}$

b. Points A, B, C et D dans le repère $(O,\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})$

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2. Montrons que les points O, B et C sont alignés

O est l'origine du repère. Les affixes $z_B$ et $z_C$ des points B et C ont le même argument $\theta_B=\theta_C=\dfrac{\pi}{4}$ , donc :

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Les points O,B et C sont alignés.}}}$

3. Nature du triangle ACD

On a :

$D(^{\text{ }1}_{-3})\text{ }A(^4_0)\text{ }\overrightarrow{DA}(^3_3)\\\\C(^2_2)\text{ }A(^4_0)\text{ }\overrightarrow{CA}(^{\text{ }2}_{-2})$

$(x_{\overrightarrow{CA}}\times x_{\overrightarrow{DA}})+(y_{\overrightarrow{CA}}\times y_{\overrightarrow{DA}})=(3\times2)+(3\times(-2))=6-6=0$

Le produit scalaire $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{DA}$ est nul, donc les vecteurs $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{DA}$ sont orthogonaux, et

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le triangle ACD est donc rectangle en A.}}}$

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4. ACDE parallélogramme équivaut à dire : $\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CD}$

$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{CD}\Longleftrightarrow z_E-z_A=z_D-z_C\Longleftrightarrow z_E=z_A+z_D-z_C$

En remplaçant par les valeurs, on obtient : $z_E=3-5i$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{On a : }z_E=3-5i\text{.}}}$

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5-a. On a vu ci-dessus que l'on a :

$OA=OB=4$

Donc B peut être considéré comme l'image de A par une rotation de centre O. Son angle est alors $(\overrightarrow{OA};\overrightarrow{OB})$ soit $\dfrac{\pi}{4}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{B est donc l'image de A par la rotation }r\text{ de centre O et d'angle }\frac{\pi}{4}\text{.}}}$

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b. B' image de B par la rotation $r:(O,\frac{\pi}{4})$

$z_{B'}=e^{i\frac{\pi}{4}}\times z_B\Rightarrow z_{B'}=4e^{i\frac{\pi}{4}}\times e^{i\frac{\pi}{4}}=4e^{i(\frac{\pi}{4}+i\frac{\pi}{4})}=4e^{i\frac{\pi}{2}}=4(\underbrace{cos\dfrac{\pi}{2}}_{=0}+\underbrace{isin\dfrac{\pi}{2}}_{=i})=4i$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'affixe du point B' est donc : }z_{B'}=4i{.}}}$

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EXERCICE 2

1-a. Probabilité qu'un appareil choisi au hasard dans ait été livré avec mise en service

300 appareil sur 1000 vendus ont été livrés avec une mise en service, on a donc :

$p_1=\dfrac{300}{1000}=0,3$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }p_1=0,3{.}}}$

b. Probabilité qu'un appareil choisi au hasard ait été livré

450 appareil sur 1000 vendus ont été livrés avec une mise en service, on a donc :

$p_2=\dfrac{450}{1000}=0,45$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }p_2=0,45{.}}}$

2. $F$ variable aléatoire égale au montant facturé pour un appareil

a. Valeurs prises par la variable $F$

Les valeurs prises par la variable $F$ sont : 120 ; 120+15 ; 120+15+20 ; 120+25 ; 120+25+20

$\boxed{\textcolor{blue}{F }\textcolor{blue}{\text{ prend pour valeurs : }120,135,145,155,165.}}}$

b. Loi de probabilité de $F$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \cellcolor{blue!25}\text{Valeurs possibles}&\cellcolor{blue!25}120&\cellcolor{blue!25}135&\cellcolor{blue!25}145&\cellcolor{blue!25}155&\cellcolor{blue!25}165\\ \hline \cellcolor{blue!25}\text{Probabilité}& \color{blue} 0,55 & \color{blue}0,1 & \color{blue}0,2 & \color{blue}0,05 & \color{blue}0,1 \\ \hline \end{tabular}$

c. Espérance mathématique

$E(F)=120\times 0,55+135\times 0,1+145\times 0,2+155\times 0,05+165\times 0,1=132,75$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'espérance mathématique est donc : } E(F)=132,75}}}$

d. Interprétation

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le montant facturé moyen est de }132,75\text{ euros.}}}$

PROBLEME

Partie A : utilisation d'un graphique

1-a. Par lecture du graphique :

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le minimum de la fonction est égal à }2\text{ et est atteint en }x=1\text{.} }}$

b. Signe de la fonction $g$

Sur l'intervalle considéré, la courbe représentative de $g$ est toujours au-dessus de l'axe des abscisses; la fonction $g$ ne prend donc que des valeurs strictement positives.

$\boxed{\textcolor{blue}{\forall x\in]0,+\infty[\text{, }g(x)>0.}}$

c. Limite de $g$ en $0$

$\boxed{\textcolor{blue}{\lim\limits_{x\to 0^+}g(x)=+\infty.}}$

2.
Au point de coordonnées (1;2), l'énoncé affirme que (d) est tangente à la courbe. Or (d) est parallèle à l'axe des abscisses, donc (d) a pour coefficient directeur 0. Or le coefficient directeur de la tangente en 1 est g'(1).

On en déduit que : $\boxed{\textcolor{blue}{g'(1)=0}}$

Soit $a\text{ et }b\text{ réels tels que, }g(x)=ax+b-\ln x$ . On en déduit que $g'(x)=a-\dfrac{1}{x}$

D'après ce qui précède $g'(1)=0 \text{ soit } a-1=0 \text{ ou encore } a=1$

De plus $g(1)=2 \text{ soit } 1+b-\ln 1=2 \text{ et on obtient } b=1$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }g(x)=x+1-\ln x}}$

Partie B : étude de la fonction $f$

La fonction $f$ est définie sur $]0,+\infty[$ par : $f(x)=\ln x+\dfrac{\ln x}{x}$

1-a. Limite de $f$ en $+\infty$

$\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x+\dfrac{\ln x}{x}=\lim\limits_{x\to +\infty}(1+\underbrace{\dfrac{1}{x}}_{\to 0})\ln x=\lim\limits_{x\to +\infty}\ln x=+\infty$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }\lim\limits_{x\to +\infty}f(x)=+\infty}}$

b. Limite de $f$ en $0$

$\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to 0^+}\ln x+\dfrac{\ln x}{x}=\lim\limits_{x\to 0^+}(1+\underbrace{\dfrac{1}{x}}_{\to +\infty})\underbrace{\ln x}_{\to -\infty}=-\infty$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)=-\infty}}$

2-a. Dérivée $f'$

La fonction $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ comme somme et quotient de fonctions dérivables sur $]0,+\infty[$ (dont le dénominateur ne s'annule pas), et on a :

$f'(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{\dfrac{1}{\cancel{x}}\times \cancel{x}-\ln x\times 1}{x^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1-\ln x}{x^2}=\dfrac{\overbrace{x+1-\ln x}^{=g(x)}}{x^2}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}}}$

b. Variations de $f$

$\forall x\in]0,+\infty[\text{, }x^2>0$ donc $f'(x)$ a le même signe que $g(x)$

D'après la première partie, on sait que :

$\forall x\in]0,+\infty[\text{, }g(x)>0\text{, donc }\forall x\in]0,+\infty[\text{, }f'(x)>0$

Et $f$ est strictement croissante sur son ensemble de définition.

$\begin{tabvar}{|C|CCCCC|} \hline x & 0 && & & +\infty \\ \hline f'(x) & \dbarre& && + & \\ \hline \niveau{2}{3} f & \dbarre&-\infty && \croit & +\infty \\ \hline \end{tabvar}$

3-a. Autre forme de l'expression de $f$

$f(x)=\ln x+\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{x\ln x}{x}+\dfrac{\ln x}{x}=\dfrac{(x+1)\ln x}{x}$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }\forall x\in]0,+\infty[\text{, }f(x)=\dfrac{(x+1)\ln x}{x}}}$

b. Intersection de $\mathcall{C}_f$ avec l'axe des abscisses

On cherche l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée nulle.

$f(x)=0\Longleftrightarrow \dfrac{(x+1)\ln x}{x}=0\Longleftrightarrow (x+1)\ln x=0\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{array}l \ln x=0\text{ soit } x=1 \\\text{ou}\\ x+1=0\text{ avec } x > 0 \text{ (impossible)}\end{array}$

La seule solution qui convient car incluse dans l'ensemble de définition est 1.

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Le point d'intersection de }\mathcall{C}\text{ avec l'axe des abscisses a donc pour cordonnées }(1,0).}}$

4. Equation de la tangente $\mathcall{T}$ à la courbe $\mathcall{C}_f$ au point d'abscisse $1$

Une équation de $\mathcall{T}$ s'écrit : $y=f'(1)(x-1)+f(1)$

Or $f(1)=0 \text{ et } f'(1)=\dfrac{g(1)}{1^2}=2$ . On obtient : $y=2(x-1)+0$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Une équation de la tangente }\mathcall{T}\text{, à la courbe }\mathcall{C}_f\text{ au point de coordonnées (1,0) est donc : }y=2x-2}}$

5. Représentation graphique

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Juin 2012 - terminale : image 14

Partie C : détermination d'une aire

1. Représentation graphique de l'aire $\mathcall{A}$

Bac STL physique de laboratoire et de procédés industriels Métropole Juin 2012 - terminale : image 4

2. Soit la fonction $F$ sur $]0,+\infty[$ définie par :
$F(x)=x\ln x-x+\dfrac{1}{2}(\ln x)^2$
Les fonctions $F \text{ et } f$ sont toutes deux définies sur $]0,+\infty[$ .

$F'(x)=1\times \ln x+\cancel{x}\times\dfrac{1}{\cancel{x}}-1+\dfrac{1}{\cancel{2}}\times \cancel{2}\times(\ln x)\times\dfrac{1}{x}=\ln x+\cancel{1}-\cancel{1}+\dfrac{\ln x}{x}=\ln x+\dfrac{\ln x}{x}=f(x)$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc }F\text{ est une primitive de }f\text{ sur }]0,+\infty[.}}$

3. Valeur de $\mathcall{A}$

Sur [1 ; e], la fonction $f$ ne prend que des valeurs positives.
L'aire de $\mathcall{A}$ est donnée par l'intégrale suivante :

$\mathcall{A}=\displaystyle {\int_1^e f(x)dx}=\left[F(x)\right]_1^e=F(e)-F(1)=\cancel{e}\times \underbrace{\ln e}_{=1}-\cancel{e}+\dfrac{1}{2}(\ln e)^2-\underbrace{1\times \ln 1}_{=0}+1-\underbrace{\dfrac{1}{2}(\ln 1)^2}_{=0}=\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{3}{2}\text{ unités d'aire}$

L'unité graphique étant de $2\text{ cm}$ , une unité d'aire sera donc de $4\text{ cm}^2$ , donc :

$\mathcall{A}=\dfrac{3}{2}\times 4=6\text{ cm}^2$

$\boxed{\textcolor{blue}{\text{Donc : }\mathcall{A}=\dfrac{3}{2}\text{ unités d'aire}\text{, soit }6\text{ cm}^2.}}$

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Publié par TP/Jedoniezh le 19-02-2016

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