Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Économique et Social (enseignement obligatoire et de spécialité)
Série Littéraire (enseignement de spécialité)
Session Avril 2013 - Pondichéry

Durée de l'épreuve : 3 heures
Coefficient 4 (L)
Coefficient 5 (ES - candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité)
Coefficient 7 (ES - candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité)

Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la réglementation en vigueur.

Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.

1. La fonction $F$ définie sur $\mathbb{R}$ par $F(x) = \text{e}^{- x^2}$ est une primitive de la fonction $f$ définie par :

a) $f(x) = - x\text{e}^{- x^2}$

b) $f(x) = - 2x\text{e}^{- x^2}$

c) $f(x) = x\text{e}^{- x^2}$

d) $f(x) = \text{e}^{- 2x}$

2. Soit la fonction $h$ définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x) = (7x - 23)\text{e}^{x}$ .
L'équation $h(x) = 0$

a) a pour solution 2,718

b) a une solution sur $[0 ; +\infty[$

c) a deux solutions sur $\mathbb{R}$

d) a une solution sur $]-\infty ; 0]$

3. On pose $I = \displaystyle\int_{0}^1 3\text{e}^{3x}\:\text{d}x$ .
On peut affirmer que :

a) $I = \text{e}^{3} - 1$

b) $I = 3\text{e}^{3} - 3$

c) $I = 19,1$

d) $I = 1 - \text{e}^{3}$

4. La fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par $g(x) = x^3 - 9x$ est convexe sur l'intervalle :

a) $]- \infty ; +\infty[$

b) $[0 ; +\infty[$

c) $]- \infty ; 0]$

d) $[- 3 ; 3]$

5 points

exercice 2 - Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur point de vue sur la durée de la pause du midi ainsi que sur les rythmes scolaires.

L'enquête révèle que 55% des élèves sont favorables à une pause plus longue le midi et parmi ceux qui souhaitent une pause plus longue, 95% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

Parmi ceux qui ne veulent pas de pause plus longue le midi, seulement 10% sont pour une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

On choisit un élève au hasard dans le lycée. On considère les évènements suivants :
    $L$ : l'élève choisi est favorable à une pause plus longue le midi ;
    $C$ : l'élève choisi souhaite une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

1. Construire un arbre pondéré décrivant la situation.

2. Calculer $P(L \cap C)$ la probabilité de l'évènement $L \cap C$ .

3. Montrer que $P(C) = 0,5675$ .

4. Calculer $P_{C}(L)$ , la probabilité de l'évènement $L$ sachant l'évènement $C$ réalisé. En donner une valeur arrondie à 10^-4.

5. On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement. Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. Le nombre d'élèves étant suffisamment grand, on considère que $X$ suit une loi binomiale.
    a) Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
    b) Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire. En donner une valeur arrondie à 10^-4.
    c) Calculer la probabilité qu'exactement deux élèves soient favorables à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire.

5 points

exercice 2 - Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité

Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment

On considère le graphe $\Gamma$ ci-dessous :

bac économique et social et littéraire spécialité Pondichéry Avril 2013 - terminale : image 1

Partie A

1. Ce graphe admet-il une chaîne eulérienne ? Justifier la réponse. Si oui donner une telle chaîne.

2. Ce graphe admet-il un cycle eulérien ? Justifier la réponse. Si oui donner un tel cycle.

3. Donner la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$ . Les sommets seront pris dans l'ordre alphabétique :
A, B, C, D, E, F, G.

Partie B

Une région est munie d'un réseau de trains, représenté par le graphe $\Gamma$ ci-dessous.
Les stations sont symbolisées par les sommets A, B, C, D, E, F et G. Chaque arête représente une ligne reliant deux gares. Les temps de parcours (correspondance comprise) en minutes entre chaque sommet ont été rajoutés sur le graphe.

bac économique et social et littéraire spécialité Pondichéry Avril 2013 - terminale : image 2

1. Déterminer le plus court chemin en minutes, reliant la gare B à la gare G.
Justifier la réponse grâce à un algorithme.

2. Quelle est la longueur en minutes de ce chemin ?

5 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Le 1^er janvier 2000, un client a placé 3 000 ? à intérêts composés au taux annuel de 2,5%.
On note $C_{n}$ le capital du client au 1^er janvier de l'année $2000 + n$ , où $n$ est un entier naturel.

1. Calculer $C_{1}$ et $C_{2}$ . Arrondir les résultats au centime d'euro.

2. Exprimer $C_{n+1}$ en fonction de $C_{n}$ . En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$ , on a la relation : $C_{n} = 3 000 \times 1,025^n$ .

3. On donne l'algorithme suivant :
Entrée
    Saisir un nombre $S$ supérieur à 3 000
Traitement
    Affecter à $n$ la valeur 0. (Initialisation)
    Affecter à $U$ la valeur 3 000. (Initialisation)

    Tant que $U \le S$
        $n$ prend la valeur $n + 1$
        $U$ prend la valeur $U \times 1,025$
    Fin tant que
Sortie
    Afficher le nombre $2000 + n$

    a) Pour la valeur $S = 3 300$ saisie, recopier et compléter autant que nécessaire le tableau suivant. Les résultats seront arrondis à l'unité.

Valeur de $n$	0	1	...
Valeur de $U$	3 000		...
Condition $U \le S$	vrai		...

b) En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $S$ saisie est 3 300.
c) Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme quand on saisit un nombre $S$ supérieur à 3 000.

4. Au 1^er janvier 2013, le client avait besoin d'une somme de 5 000 ?. Montrer que le capital de son placement n'est pas suffisant à cette date.

5. Déterminer, en détaillant la méthode, à partir du 1^er janvier de quelle année le client pourrait avoir son capital initial multiplié par 10.

6 points

exercice 4 - Commun à tous les candidats

La partie C peut être traitée indépendamment des parties A et B.

Partie A

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle [0 ; 6] par $f(x) = 1 - (x + 1)\text{e}^{- x}$ .

1. Montrer que $f'(x) = x\text{e}^{- x}$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ .

2. Démontrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle [0 ; 6].
Déterminer une valeur arrondie de $\alpha$ à 0,01.

3. On admet que la fonction $F$ définie sur [0 ; 6] par $F(x) = x + (x + 2)\text{e}^{- x}$ est une primitive de $f$ sur [0 ; 6]. Donner la valeur exacte puis une valeur arrondie à 10^-3 de $I = \displaystyle \int_{0}^6 f(x)\:\text{d}x$ .

Partie B

Une entreprise lance la production de batteries pour véhicules électriques.
Une étude a modélisé le rythme de la production journalière sur les six premiers mois à l'aide de la fonction $f$ définie dans la partie A pour $x$ compris entre 0 et 6.
$x$ représente le nombre de mois (de 30 jours) depuis le lancement du produit.
$f(x)$ représente la production journalière de batteries en milliers.

1. Exprimer en mois puis en jours le moment où la production atteindra 0,5 millier soit 500 unités.

2. Déterminer une valeur arrondie à 10^-3 de la valeur moyenne, exprimée en milliers, de la production sur les six premiers mois.

Partie C

Il est prévu que l'autonomie permise par ce type de batteries, sous certaines conditions de conduite, soit de 200 km.
Sur un parcours joignant une ville située à 160 km, on suppose que l'autonomie, exprimée en km, permise par ces batteries suit une loi normale d'espérance $\mu = 200$ et d'écart-type $\sigma = 40$ .

1. Quelle est la probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville ?

2. La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries est-elle supérieure à 0,01 ? Justifier votre réponse.

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exercice 1.COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

1.Réponse b)
$\text{La fonction }F\text{ est dérivable sur }\mathbb{R}\text{ et } F^{'}(x)=-2x~\text{e}^{-x^2}\text{ (dérivée de e}^{u} \text{)}$

2.Réponse b)
$h(x)=0 \Longleftrightarrow (7x-23)\text{e}^x=0 \Longleftrightarrow x=\dfrac{23}{7}\text{ . Or, }\dfrac{23}{7}\in [0~;~+\infty[$

3.Réponse a)
$I=\displaystyle{\int_0^1 3~\text{e}^{3x}\text{d}x=[\text{e}^{3x}]_0^1=\text{e}^3-\text{e}^0=\text{e}^3-1$

4.Réponse b)
$\text{La fonction }g \text{ est deux fois dérivable sur }\mathbb{R}\text{ , } g'(x)=3x^2-9 \text{ et } g''(x)= 6x$
$g''(x)\ge 0 \Longleftrightarrow x \ge 0$
$g' \text{ est donc croissante uniquement sur }[0~;~+\infty[$

exercice 2.CANDIDATS DE LA SÉRIE ES N'AYANT PAS SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ ET CANDIDATS DE L

1. $P(L)=0.55\text{ donc }P(\overline{L})=0.45\qquad P_L(C)=0,95 \text{ donc } P_L(\overline{C})=0,05 \qquad P_{\overline{L}}(C)=0,10\text{ donc } P_{\overline{L}}(\overline{C})=0,90$

bac économique et social et littéraire spécialité Pondichéry Avril 2013 - terminale : image 3

2. $P(L\cap C)=P(L)\times P_L(C)=0.55\times 0.95=0.5225$

3. $L \text{ et } \overline{L} \text{ formant une partition de l'univers, on a :}$
$P(C)=P(L\cap C)+P(\overline{L}\cap C)=0.5225+0.45\times 0.10=0.5675$
4. $P_C(L)=\dfrac{P(L\cap C)}{P(C)}=\dfrac{0.5225}{0.5675}\approx0.9207$

5.a) $X \text{ est une loi binomiale de paramètres }4 \text{ et }0.5675$

5.b) $\text{La probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne soit favorable à une répartition des cours plus étalée sur l'année scolaire correspond à } \\ P(X=0)\text{ qui vaut :}\qquad p(X=0)={4\choose 0}(0.5675)^0(1-0.5675)^4\approx0.0350$

5.c) $\displaystyle{P(X=2)={4\choose 2}(0.5675)^2(1-0.5675)^2\approx0.3615$

exercice 2.CANDIDATS DE LA SÉRIE ES AYANT SUIVI L'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ

Partie A.

Rappel : Théorème d'Euler

Un graphe connexe contient une chaîne eulérienne si et seulement si il possède 0 ou 2 sommets de degré impair.
Un graphe connexe contient un cycle eulérien si et seulement si il ne possède aucun sommet de degré impair (autrement dit tous ses sommets sont de degré pair)

1. Puisque tous les sommets peuvent être reliés deux à deux par une chaîne, le graphe $\Gamma$ est connexe.
D'autre part, on remarque qu'il n'y a que 2 sommets de degrés impairs et qui sont D (de degré 5) et G (de degré 3).
Donc, d'après le théorème d'Euler : $\boxed{\text{Le graphe } \Gamma \text{ admet une}\textbf{ chaîne Eulérienne} }$
Exemple de chaîne Eurélienne : $\boxed{GE-EF-FC-CA-AB-BC-CD-DB-BE-ED-DF-FG-GD}$

2. On avait vu que le graphe $\Gamma$ possède deux sommets de degré impairs, donc d'après le théorème d'Euler :
$\boxed{\Gamma \text{ n'admet pas de cycle Eulérien}}$

3. En respectant l'ordre alphabétique demandé, on obtient la matrice $M$ associée au graphe $\Gamma$ : $\boxed{M=\begin{pmatrix}0&1&1&0&0&0&0\\1&0&1&1&1&0&0\\1&1&0&1&0&1&0\\0&1&1&0&1&1&1\\0&1&0&1&0&1&1\\0&0&1&1&1&0&1\\0&0&0&1&1&1&0\end{pmatrix}}$

Partie B.

1.On utilise l'algorithme de Dijkstra :

$\begin{array}{|m{65mm}||m{12mm}|m{12mm}|m{12mm}|m{12mm}|m{12mm}|m{12mm}|m{12mm}|} \hline \textbf{ Sommet sélectionné à chaque étape }&B&A&C&D&E&F&G \\ \hline B &0&$+\infty$ &$+\infty$ &$+\infty$ &$+\infty$ &$+\infty$ &$+\infty$ \\ \hline A & &\textbf{4(B)}& \text{7(B)}&\text{18(B)}&\text{21(B)}&$+\infty$ &$+\infty$ \\ \hline C&&&\textbf{7(B)}&\text{18(B)}&\text{21(B)}&$+\infty$&$+\infty$ \\ \hline D&&&&\textbf{17(C)}&\text{21(B)}&\text{32(C)}&$+\infty$ \\ \hline E&&&&&\textbf{21(B)}&\text{29(D)}&\text{48(D)} \\ \hline F&&&&&&\textbf{29(D)}&\text{38(E)} \\ \hline G&&&&&&&\textbf{36(F)} \\ \hline \end{array}$
D'après l'algorithme, le plus court chemin pour arriver en G vient de F qui vient de D qui vient de C qui vient de B.
Conclusion : $\boxed{\text{Le plus court chemin en minutes, reliant la gare B à la gare G est:} \textbf{ B-C-D-F-G}}$

2. D'après le tableau ci-dessus :
$\boxed{\text{ La longueur en minutes du chemin B-C-D-F-G est :} \textbf{ 36 mn}}$

exercice 3.COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

1. $\text{Les intérêts composés au taux annuel de }2,5\% \text{ correspondent à un coefficient multiplicateur de }1.025$
$C_1=3000\times1.025=3075\text{ (euros)}\qquad C_2=3075\times1.025\approx3151.88\text{ (euros)}$

2. $\text{Pour tout entier naturel } n \text{ on a : }C_{n+1}=C_n+2.5\%C_n=(1+2.5\%)C_n=1.025C_n$
$(C_n)\text{ est donc la suite géométrique de premier terme }C_0=3000\text{ et de raison } 1.025$
$\text{On en déduit que : }C_n=C_0\times1.025^{(n-0)}\text{ soit }C_n=3000\times 1.025^n$

3.a)
$\text{Le tableau complété, avec des résultats arrondis à l'unité : }$

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}\hline Valeur de \textit{n} &0&1&2&3&4\\ \hline valeur de \textit{U}&300&3075&3152&3231&3311\\ \hline Condition \textit{ U}\le \textit{ S}&vrai&vrai&vrai&vrai&faux\\ \hline\end{tabular}$

3.b) $\text{L'affichage sera }2004 \text{ car } 2000+4=2004$

3.c) $\text{Quand on saisit un nombre } S \text{ supérieur à } 3 000 \text{, le nombre obtenu en sortie de cet algorithme est l'année où le capital obtenu dépasse la valeur } S \\ \text{pour la première fois.}$

4. $\text{Au }1^{er} \text{ janvier } 2013, \text{ le capital dont il dispose est de : }3000\times (1.025)^{13}=4135.53<5000$
$\text{Le capital de son placement n'est donc pas suffisant à cette date.}$

5. $\text{L'année }n\text{ où le client pourra avoir son capital initial multiplié par 10 répond à l'inéquation : }1.025^n\ge10$
$1.025^n\ge10\Longleftrightarrow\ln(1.025^n)\ge\ln(10)\Longleftrightarrow n\ln(1.025)\ge\ln(10)\Longleftrightarrow n\ge\dfrac{\ln(10)}{\ln(1.025)}$
$\dfrac{\ln(10)}{\ln(1.025)}\approx93.25\text{ donc, c'est en }2094(=2000+94)\text{ que le client pourra voir son capital multiplié par }10.$

exercice 4. COMMUN À TOUS LES CANDIDATS

Partie A

1. $\text{La fonction }f\text{ est dérivable sur }[0~;~6]\text{ comme somme et produit de fonctions dérivables sur }[0~;~6]$
$\text{Pour tout } x \text{ de } [0~;~6]\text{ , } f'(x)=-(x+1)(-\text{e}^{-x})-1\times\text{e}^{-x}=x\text{e}^{-x}$

2. $\text{Pour tout } x \text{ de } [0~;~6]\text{ , } f'(x)\text{ a le même signe que }x\text{ donc est toujours positive, en ne s'annulant que pour }x=0$
$f(0)=0 \qquad f(6)=1-7\text{e}^{-6}\approx0.98$
$\text{La fonction }f \text{ est continue et strictement croissante sur }[0~;~6]$
$\text{D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation }f(x)=0.5\text{ admet donc une unique solution sur l'intervalle }[0~;~6]$
$f(1.678)\approx0.4999\qquad f(1.679)\approx0.5002\qquad \text{ donc }\alpha\approx 1.68\text{ (valeur arrondie à }10^{-2}\text{)}$
3. $I=\displaystyle\int_0^6 f(x)\text{d}x=\left[F(x)\right]_0^6=F(6)-F(0)=6+8\text{e}^{-6}-2=4+8\text{e}^{-6}\approx4.020$

Partie B

1. $f(x)=0.5 \text{ pour } x=\alpha$
$\text{C'est donc au bout de }1.68 \text{ mois que la production atteindra }500 \text{ unités, ce qui représente }50.4 \text{ jours.}$
$\text{Il faudra donc attendre environ 50 jours pour atteindre une production de 500 unités}$

2. $\text{La valeur moyenne vaut : }\dfrac{1}{6-0}\displaystyle\int_0^6 f(x)\text{d}x=\dfrac{1}{6}I\approx0.670\text{ ce qui représente 670 unités}$

Partie C

1. $\text{La probabilité, arrondie au centième, de ne pas atteindre cette ville vaut : }$
$P(X\le160)=0.5-P(160\le X\le200)\approx0.16$

2. $\text{ La probabilité de pouvoir faire l'aller-retour jusqu'à cette ville sans recharge des batteries vaut : }$
$P(X\ge 320)=0.5-P(200\le X\le 320)\approx 0.0013 ~(< 0.01 )$
$\text{Cette probabilité est donc inférieure à 0.01}$

Publié par TP/ le 27-10-2015

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