Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Général
Série Scientifique
Session Juin 2013 - Métropole

Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 7
Pour les candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité :
Durée de l'épreuve : 4 heures - Coefficient 9

Les calculatrices de poche sont autorisés conformément à la réglementation en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation des copies.

4 points

exercice 1 - Commun à tous les candidats

Une jardinerie vend de jeunes plants d'arbres qui proviennent de trois horticulteurs : 35% des plants proviennent de l'horticulteur H₁, 25% de l'horticulteur H₂ et le reste de l'horticulteur H₃.
Chaque horticulteur livre deux catégories d'arbres : des conifères et des arbres à feuilles.
La livraison de l'horticulteur H₁ comporte 80% de conifères alors que celle de l'horticulteur H₂ n'en comporte que 50% et celle de l'horticulteur H₃ seulement 30%.

1. Le gérant de la jardinerie choisit un arbre au hasard dans son stock.
On envisage les évènements suivants :
H₁ : "l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H₁",
H₂ : "l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H₂",
H₃ : "l'arbre choisi a été acheté chez l'horticulteur H₃",
C : "l'arbre choisi est un conifère",
F : "l'arbre choisi est un arbre feuillu".

    a) Construire un arbre pondéré traduisant la situation.
    b) Calculer la probabilité que l'arbre choisi soit un conifère acheté chez l'horticulteur H₃.
    c) Justifier que la probabilité de l'évènement C est égale à 0,525.
    d) L'arbre choisi est un conifère.
Quelle est la probabilité qu'il ait été acheté chez l'horticulteur H₁ ? On arrondira à 10^-3.

2. On choisit au hasard un échantillon de 10 arbres dans le stock de cette jardinerie. On suppose que ce stock est suffisamment important pour que ce choix puisse être assimilé à un tirage avec remise de 10 arbres dans le stock.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de conifères de l'échantillon choisi.
    a) Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
    b) Quelle est la probabilité que l'échantillon prélevé comporte exactement 5 conifères ? On arrondira à 10^-3.
    c) Quelle est la probabilité que cet échantillon comporte au moins deux arbres feuillus ? On arrondira à 10^-3.

7 points

exercice 2 - Commun à tous les candidats

Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d'un repère orthonormé $(O ; \vec{i} , \vec{j})$ , la courbe représentative $\mathscr{C}$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $]0,+\infty[$ .

Bac scientifique Métropole Juin 2013 - terminale : image 1

On dispose des informations suivantes :
les points $A, B, C$ ont pour coordonnées respectives (1,0), (1,2), (0,2) ;
la courbe $\mathscr{C}$ passe par le point $B$ et la droite $(BC)$ est tangente à $\mathscr{C}$ en $B$ ;
il existe deux réels positifs $a$ et $b$ tels que pour tout réel strictement positif $x$ , $f(x) = \dfrac{a + b\ln x}{x}$ .

1. a) En utilisant le graphique, donner les valeurs de $f(1)$ et $f'(1)$ .
   b) Vérifier que pour tout réel strictement positif $x$ , $f'(x) = \dfrac{(b-a) - b\ln x}{x^2}$ .
   c) En déduire les réels $a$ et $b$ .

2. a) Justifier que pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0,+\infty$ , $f'(x)$ a le même signe que $-\ln x$ .
   b) Déterminer les limites de $f$ en 0 et $+\infty$ . On pourra remarquer que pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2\dfrac{\ln x}{x}$ .
   c) En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ .

3. a) Démontrer que l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle ]0 , 1].
   b)Par un raisonnement analogue, on démontre qu'il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle $]1,+\infty$ tel que $f(\beta) = 1$ .
Déterminer l'entier $n$ tel que $n < \beta < n + 1$ .

4. On donne l'algorithme ci-dessous.
$\begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables :}&a, b\ \text{et}\ m\ \text{sont des nombres réels.}\\ \text{Initialisation :}&\text{Affecter à}\ a\ \text{la valeur}\ 0.\\ &\text{Affecter à}\ b\ \text{la valeur}\ 1.\\ \text{Traitement :}&\text{Tant que}\ b-a>0,1\\ &\ \ \ \text{Affecter à}\ m\ \text{la valeur}\ \frac{1}{2}(a+b).\\ &\ \ \ \text{Si}\ f(m)<1\ \text{alors Affecter à}\ a\ \text{la valeur}\ m.\\ &\ \ \ \text{Sinon Affecter à}\ b\ \text{la valeur}\ m.\\ &\ \ \ \text{Fin de SI.}\\ &\text{Fin de Tant que.}\\ \text{Sortie :}&\text{Afficher}\ a.\\ &\text{Afficher}\ b.\\ \hline \end{array}$
   a) Faire tourner cet algorithme en complétant le tableau ci-dessous que l'on recopiera sur la copie.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline &\text{étape 1}&\text{étape 2}&\text{étape 3}&\text{étape 4}&\text{étape 5}\\ \hline a&0&&&&\\ \hline b&1&&&&\\ \hline b-a&&&&&\\ \hline m&&&&&\\ \hline \end{array}$
   b) Que représentent les valeurs affichées par cet algorithme ?
   c) Modifier l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche les deux bornes d'un encadrement de $\beta$ d'amplitude 10^-1.

5. Le but de cette question est de démontrer que la courbe $\mathscr{C}$ partage le rectangle $OABC$ en deux domaines d'aires égales.
   a) Justifier que cela revient à démontrer que $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^1 f(x) \text{d}x = 1$ .
   b) En remarquant que l'expression de $f(x)$ peut s'écrire $\dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x$ , terminer la démonstration.

4 points

exercice 3 - Commun à tous les candidats

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie.
Il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pénalisée.

1. Proposition 1 : Dans le plan muni d'un repère orthonormé, l'ensemble des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie l'égalité $|z-i|=|z+1|$ est une droite.

2. Proposition 2 : Le nombre complexe $\left(1 + i\sqrt{3} \right)^4$ est un nombre réel.

3. Soit $ABCDEFGH$ un cube.
Proposition 3 : Les droites $(EC)$ et $(BG)$ sont orthogonales.

Bac scientifique Métropole Juin 2013 - terminale : image 2

4. L'espace est muni d'un repère orthonormé $(O ; \vec{i} , \vec{j} , \vec{k})$ . Soit le plan $\mathscr{P}$ d'équation cartésienne $x+y+3z+4=0$ . On note $S$ le point de coordonnées (1 , -2 , -2).
Proposition 4 : La droite qui passe par $S$ et qui est perpendiculaire au plan $\mathscr{P}$ a pour représentation paramétrique $\left \lbrace \begin{array}{l} x = 2+t\\y = -1+t\\ z = 1+3t \end{array} \right. \, , \, t \in \mathbb{R}.$

5 points

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Soit la suite numérique $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par : $u_0=2$ et pour tout entier naturel $n, \, u_{n+1} = \dfrac{2}{3} u_n + \dfrac{1}{3} n + 1$

1. a) Calculer $u_1, \, u_2, \, u_3$ et $u_4$ . On pourra en donner des valeurs approchées à 10^-2 près.
   b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

2. a) Démontrer que pour tout entier naturel $n, \, u_n \leq n+3$ .
   b) Démontrer que pour tout entier naturel $n, \, u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3}(n+3-u_n)$ .
   c) En déduire une validation de la conjecture précédente.

3. On désigne par $(v_n)$ la suite définie sur $\mathbb{N}$ par $v_n=u_n-n$ .
   a) Démontrer que la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ .
   b) En déduire que pour tout entier naturel $n, \, u_n = 2 \left(\dfrac{2}{3}\right)^n + n$ .
   c) Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ .

4. Pour tout entier non nul $n$ , on pose : $S_n = \displaystyle\sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \dots + u_n$ et $T_n = \dfrac{S_n}{n^2}$
   a) Exprimer $S_n$ en fonction de $n$ .
   b) Déterminer la limite de la suite $(T_n)$ .

5 points

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

On étudie la population d'une région imaginaire. Le 1^er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants dont 70% résidaient à la campagne et 30% en ville.
L'examen des données statistiques recueillies au cours de plusieurs années amène à choisir de modéliser l'évolution de la population pour les années à venir de la façon suivante :
l'effectif de la population est globalement constant,
chaque année, 5% de ceux qui résident en ville décident d'aller s'installer à la campagne et 1% de ceux qui résident à la campagne choisissent d'aller habiter en ville.

Pour tout entier naturel $n$ , on note $v_n$ le nombre d'habitants de cette région qui résident en ville au 1^er janvier de l'année $(2013+n)$ et $c_n$ le nombre de ceux qui habitent à la campagne à la même date.

1. Pour tout entier naturel $n$ , exprimer $v_{n+1}$ et $c_{n+1}$ en fonction de $v_n$ et $c_n$ .

2. Soit la matrice $A=\begin{pmatrix}0,95&0,01\\0,05&0,99\end{pmatrix}$ .
On pose $X=\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ où $a$ et $b$ sont deux réels fixés et $Y=AX$ .
Déterminer, en fonction de $a$ et $b$ , les réels $c$ et $d$ tels que $Y=\begin{pmatrix}c\\d\end{pmatrix}$ .

Les résultats précédents permettent d'écrire que pour tout entier naturel $n,\ X_{n+1}=AX_n$ où $X_n=\begin{pmatrix}v_n\\c_n\end{pmatrix}$ . On peut donc en déduire que pour tout entier naturel $n,\, X_n=A^nX_0$ .

3. Soient les matrices $P=\begin{pmatrix}1&-1\\5&1\end{pmatrix}$ et $Q = \begin{pmatrix}1&1\\-5&1\end{pmatrix}$ .
   a) Calculer $PQ$ et $QP$ . En déduire la matrice $P^{-1}$ en fonction de $Q$ .
   b) Vérifier que la matrice $P^{-1}AP$ est une matrice diagonale $D$ que l'on précisera.
   c) Démontrer que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal 1, $A^n=PD^n P^{-1}$ .

4. Les résultats des questions précédentes permettent d'établir que : $v_n = \dfrac{1}{6}(1 + 5 \times 0,94^n) v_0 + \dfrac{1}{6}(1 - 0,94^n)c_0$
Quelles informations peut-on en déduire pour la répartition de la population de cette région à long terme ?

Voir la correction

exercice 1 - Commun à tous les candidats

1. a)

Bac scientifique Métropole Juin 2013 - terminale : image 3

1. b) $P(C \cap H_3) = 0,4 \times 0,3 = 0,12$

1. c) $P(C) = P(C \cap H_1) + P(C \cap H_2) + P(C \cap H_3) = 0,35 \times 0,8 + 0,25 \times 0,5 + 0,12$ donc P(C) = 0,525.

1. d) $P_C(H_1) = \dfrac{P(C \cap H_1)}{P(C)} = \dfrac{0,35 \times 0,8}{0,525} \approx 0,533$

2. a) On a une succession de 10 expériences aléatoires identiques et indépendantes, chacune d'elles a deux issues :
réussite : l'arbre prélevé est un conifère (p = 0,525)
échec : l'arbre prélevé n'est pas un conifère (q = 0,475)
donc $X$ suit une loi binomiale de paramètres (10 ; 0,525).

2. b) $P(X = 5) = \left( \begin{tabular}{c}10 \\ 5 \end{tabular} \right) \times 0,525^2 \times 0,485^5 = 0,243$

2. c) Si l'échantillon comporte au moins deux arbres feuillus (donc de 2 à 10 feuillus), il a alors entre 0 et 8 conifères.
$P(X \leq 8) = 0,984$

exercice 2 - Commun à tous les candidats

1. a) $f(1)$ est l'ordonnée de B donc $f(1) = 2$ et $f'(1)$ est le coefficient directeur de la tangente en B, or cette tangente est horizontale donc $f'(1) = 0$

1. b)
$\left \lbrace \begin{array}{lcl} u(x) = a + b \ln x & \hspace{5pt} & u'(x) = \dfrac{b}{x} \\ v(x) = x & & v'(x) = 1 \\ \end{array} \right.$
Donc $f'(x) = \dfrac{ \dfrac{b}{x} \times x - (a + b \ln x)}{x^2} = \dfrac{b - a- b \ln x}{x^2}$
Pour tout réel strictement positif $x$ , $f'(x) = \dfrac{(b - a) - b \ln x}{x^2}$

1. c) $\ln 1 = 0$ et $f(1) = 2$ donc $a = 2$
$f'(1) = b - a = 0$ donc $a = b = 2$ donc $f(x) = \dfrac{2 + 2 \ln x}{x}$ .

2. a) $a = b = 2$ donc $f'(x) = \dfrac{-2 \ln x}{x^2}$ donc pour tout réel $x$ appartenant à l'intervalle $]0 ; +\infty[$ , $f'(x)$ a le même signe que $- \ln x$ .

2. b) $f(x) = \dfrac{2}{x} (1 + \ln x)$ or $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} \dfrac{2}{x} = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} (1 + \ln x) = -\infty$ donc $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$
Pour tout réel $x$ strictement positif, $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2 \dfrac{\ln x}{x}$
Or $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{2}{x} = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

2. c)
$\begin{tabvar}{|C|LLCCCC|} \hline x & 0 &&&1&& +\infty \\ \hline f'(x)&\dbarre&&+&0&-& \\ \hline \niveau{1}{2} f& \dbarre & -\infty & \croit & 2 & \decroit & 0\\ \hline \end{tabvar}$

3. a) La fonction $f$ est définie continue strictement croissante sur ]0 ; 1], $\displaystyle \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty$ et $f(1) = 2$ donc l'équation $f(x) =1$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle ]0 ; 1].

3. b) $f(5) \approx 1,04$ et $f(6) \approx 0,93$ donc $f(5) > 1$ et $f(6) < 1$ .
Il existe un unique réel $\beta$ de l'intervalle $]1 ; +\infty[$ tel que $f(\beta) = 1$ donc $5 < \beta < 6$ .

4. a)
$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & étape 1 & étape 2 & étape 3 & étape 4 & étape 5 \\ \hline a & 0 & 0 & 0,25 & 0,375 & 0,4375 \\ \hline b & 1 & 0,5 & 0,5 & 0,5 & 0,5 \\ \hline b - a & 1 & 0,5 & 0,25 & 0,125 & 0,0625 \\ \hline m & 0,5 & 0,25 & 0,375 & 0,4375 & 0,46875 \\ \hline f(m) & 1,23 & -3,09 & 0,10 & 0,79 & 1,03\\ \hline \end{tabular}$

4. b) $0,4375 < \alpha < 0,5$ .

4. c) On cherche $\beta$ tel que $f(\beta) = 1$ .
$\begin{tabvar}{|C|LCCCC|} \hline x & 1 & & \beta & & +\infty \\ \hline \niveau{2}{3} f & \niveau{3}{3} 2 & \decroit & \niveau{2}{3} 1 & \decroit & \niveau{1}{3} 0 \\ \hline \end{tabvar}$
$f$ est décroissante sur $[ 1 ; + \infty [$ donc pour tout $x$ de $[ 1 ; + \infty [$ , si $f (x) > 1$ alors $1 < x < \beta$ et si $f (x) \leq 1$ alors $x \geq \beta$
Si $f \left( \dfrac{a+b}{2} \right) > 1$ , comme $f$ est décroissante sur $[ 1 ; + \infty [$ alors $\dfrac{1}{2}(a + b) < \beta$ donc $\dfrac{1}{2}(a + b) < \beta < b$
$a$ prendra la valeur $\dfrac{1}{2} (a + b)$ dans le cas contraire $\dfrac{1}{2} (a + b) \geq \beta$ donc $a < \beta \leq \dfrac{1}{2} (a + b)$ , $b$ prendra la valeur $\dfrac{1}{2}(a + b)$ . $\begin{array}{|ll|} \hline \text{Variables :}&a, b\ \text{et}\ m\ \text{sont des nombres réels.}\\ \text{Initialisation :}&\text{Affecter à}\ a\ \text{la valeur}\ 5.\\ &\text{Affecter à}\ b\ \text{la valeur}\ 6.\\ \text{Traitement :}&\text{Tant que}\ b-a>0,1\\ &\ \ \ \text{Affecter à}\ m\ \text{la valeur}\ \frac{1}{2}(a+b).\\ &\ \ \ \text{Si}\ f(m)>1\ \text{alors Affecter à}\ a\ \text{la valeur}\ m.\\ &\ \ \ \text{Sinon Affecter à}\ b\ \text{la valeur}\ m.\\ &\ \ \ \text{Fin de SI.}\\ &\text{Fin de Tant que.}\\ \text{Sortie :}&\text{Afficher}\ a.\\ &\text{Afficher}\ b.\\ \hline \end{array}$
5. a) Le rectangle OABC a pour aire OA × OC = 1 × 2 = 2
$f (x) = 0 \Longleftrightarrow x > 0 \text{ et } 2(1 + \ln x) = 0 \Longleftrightarrow \ln x = - 1 \Longleftrightarrow x = \dfrac{1}{e}.$
La fonction $f$ est positive sur $\left[ \dfrac{1}{e} ; 1 \right]$ , donc l’aire du domaine limité par la courbe de $f$ , l’axe des abscisses, les droites d’équation $x = \dfrac{1}{e}$ et $x = 2$ est $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^1 f(x) \text{d}x$ . Cette aire doit être la moitié de l'aire du rectangle donc il faut montrer que $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^1 f(x) \text{d}x = 1.$

5. b) $f(x) = \dfrac{2}{x} + 2 \times \dfrac{1}{x} \times \ln x$ , donc une primitive de $f$ est la fonction $F$ définie sur $]0 ; +\infty[$ par
$F(x) = 2 \ln x + (\ln x)^2$ donc $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^1 f(x) \text{d}x = F(1) - F \left( \dfrac{1}{e} \right)$ .
Or $\ln \left( \dfrac{1}{e} \right) = -1$ donc $F \left( \dfrac{1}{e} \right) = -2 + (-1)^2 = -1$ donc $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^1 f(x) \text{d}x = 0 - (-1)$
$\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^1 f(x) \text{d}x = 1$ , l'aire du domaine limité par la courbe de $f$ , l'axe des abscisses, les droites d'équation $x = \dfrac{1}{e}$ et $x = 2$ est la moitié de l'aire du rectangle OABC.

exercice 3 - Commun à tous les candidats

1. Proposition 1 : VRAI
Soit les points A d’affixe i, B d’affixe - 1 et M d’affixe $z$ ,
$| z - i | = | z + 1 | \Longleftrightarrow$ AM = BM $\Longleftrightarrow$ M appartient à la médiatrice de [AB].

2. Proposition 2 : FAUX $\left( 1 + i \sqrt{3} \right)^2 = 1 - 3 + 2 i = - 2 + 2 i \sqrt{3}$ donc $\left(1 + i \sqrt{3})^4 = 4 (- 1 + i \sqrt{3})^2 = 4(1 - 3 - 2i\sqrt{3})$
$\left( 1 + i \sqrt{3} \right)^4 = - 8 - 8 i\sqrt{3}$
Autre méthode : $1 + i\sqrt{3} = 2e^{i\frac{\pi}{3}}$ donc $(1 + i\sqrt{3})^4 = 2^4 e^{4 i \frac{\pi}{3}} = 16 \left( -\dfrac{1}{2} - i \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = - 8 - 8 i \sqrt{3}$

3. Proposition 3 : VRAI
EC = EF + FC donc EC.BG = EF.BG + FC.BG
La droite (EF) est perpendiculaire au plan (BCG) et orthogonale à la droite (BG) donc EF.BG = 0.
Les diagonales (BG) et (CF) du carré BCGF sont perpendiculaires donc FC.BG = 0 donc EC.BG = 0.

4. Proposition 4 : VRAI
P est le plan d’équation cartésienne $x + y + 3 z + 4 = 0$ donc $\vec{n}(1 ; 1 ; 3)$ est un vecteur normal à P.
Soit $\Delta$ la droite de représentation paramétrique $\left \lbrace \begin{array}{ccl} x&=&2+t\\ y&=& -1 + t\\z&=&1 + 3t\end{array}$ , $\vec{n}$ est un vecteur directeur de $\Delta$ donc $\Delta$ est perpendiculaire à P.
Le point de $\Delta$ de paramètre -1 a pour coordonnées (1 ; - 2 ; - 2) donc S appartient à $\Delta$ donc $\Delta$ est la droite qui passe par S et qui est perpendiculaire au plan P.

exercice 4 - Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

1. a) $u_1 = \dfrac{2}{3} u_0 + \dfrac{1}{3} \times 0 + 1 = \dfrac{7}{3}$ soit environ 2,33.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline n&0&1&2&3&4 \\ \hline u_n & 2 & 2,33 & 2,89 & 3,59 & 4,40 \\ \hline u_n & & \dfrac{7}{3} & \dfrac{26}{9} & \dfrac{97}{27} & \dfrac{356}{81} \\ \hline \end{array}$

2. b) Cette suite semble être croissante.

2. a) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n, \, u_n \leq n + 3.$
Initialisation : $u_0 = 2$ donc $u_0 \leq 0 + 3$ la propriété est vérifiée pour $n = 0$ .
Hérédité : Montrons que pour tout entier naturel $n$ , si $u_n \leq n + 3$ alors $u_{n + 1} \leq n + 4$ .
$u_{n+1} = \dfrac{2}{3} u_n + \dfrac{1}{3} n + 1$ or $u_n \leq n + 3$ donc $u_{n+1} \leq \dfrac{2}{3}(n + 3) + \dfrac{1}{3}n + 1$ soit $u_{n+1} \leq \dfrac{2}{3}n + 2 + \dfrac{1}{3}n + 1$ soit $u_{n+1} \leq n + 3$
or $n + 3 \leq n + 4$ donc $u_{n+1} \leq n + 4$
La propriété est héréditaire donc pour tout entier naturel $n, \, u_n \leq n + 3$ .

2. b) Pour tout entier naturel $n, \, u_{n+1} = \dfrac{2}{3} u_n + \dfrac{1}{3}n + 1$
donc $u_{n+1} - u_n = \dfrac{2}{3} u_n - u_n + \dfrac{1}{3} n + 1 = -\dfrac{1}{3} u_n + \dfrac{1}{3} n + 1$
donc : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3} (n + 3 - u_n)$ .

2. c) $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3}(n + 3- u_n)$ or pour tout entier naturel $n, \, u_n \leq n + 3$ donc $n + 3 - u_n \geq 0$ donc $u_{n+1} - u_n \geq 0$
La suite $(u_n)$ est croissante.

3. a) $v_{n+1} = u_{n+1} - (n + 1) = \dfrac{2}{3} u_n + \dfrac{1}{3} n + 1 - (n + 1) = \dfrac{2}{3} u_n - \dfrac{2}{3}n$
$v_{n+1} = \dfrac{2}{3}(u_n -n) = \dfrac{2}{3}v_n$ donc la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ .
$v_0 = u_0 - 0 = 2$ donc pour tout entier naturel $n, \, v_n = 2 \times \left( \dfrac{2}{3} \right)^n$

3. b) $v_n = u_n - n$ donc $u_n = v_n + n$ donc pour tout entier naturel $n, \, u_n = 2 \left( \dfrac{2}{3} \right)^n + n$ .

3. c) $- 1 < \dfrac{2}{3} < 1$ donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{2}{3} \right)^n = 0$ donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n = + \infty$

4. a) $S_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n u_k = u_0 + u_1 + \cdots + u_n$ donc $S_n = v_0 + v_1 + \cdots + v_n + 1 + 2 + \cdots + n$
La suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{2}{3}$ donc $v_0 + v_1 + \cdots + v_n = v_0 \dfrac{1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1}}{1 - \dfrac{2}{3}} = 6 \left( 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right)$
$1 + 2 + \cdots + n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ (somme des $n$ premiers termes d’une suite arithmétique de raison 1 de premier terme 0).
donc $S_n = 6 \left( 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right) + \dfrac{n(n+1)}{2}$
On pouvait retrouver ces résultats en refaisant la démonstration : $S_n = 2 \left(1 + \dfrac{2}{3} + \cdots + \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-1} + \left( \dfrac{2}{3} \right)^n \right) + 1 + 2 + \cdots + n$
En posant $S = \left(1 + \dfrac{2}{3} + \cdots + \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-1} + \left( \dfrac{2}{3} \right)^n \right)$ et $S' = 1 + 2 + \cdots + n$ alors $S_n = 2 S + S'$
$\begin{array}{rcccccccccccc} S &=& 1 &+& \dfrac{2}{3} &+& \cdots &+& \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-1} &+& \left( \dfrac{2}{3} \right)^n && \\ \dfrac{2}{3} S &=& && \dfrac{2}{3} &+& \cdots &+& \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-1} &+& \left( \dfrac{2}{3} \right)^n &+& \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \\ \hline S - \dfrac{2}{3} S & = & 1&+&0&+& \cdots & + & 0&+&0&-& \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \\ \end{array}$
donc $\dfrac{1}{3} S = 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1}$
donc $1 + \dfrac{2}{3} + \cdots + \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n-1} + \left( \dfrac{2}{3} \right)^n = 3 \left( 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right)$
donc $v_0 + v_1 + \cdots + v_n = 6 \left( 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right)$

$\begin{array}{ccccccccccc} S'&=&1&+&2&+& \cdots & +& n-1 & + & n \\ S' & = & n & +& n - 1 & + & \cdots & + & 2 & + & 1 \\ \hline 2 S' & = & (n + 1) & + & (n + 1) & + & \cdots & + & (n + 1) & + & (n + 1) \\ \end{array}$
donc $S' = \dfrac{n(n+1)}{2}$ , $S_n = 2 S + S' = 6 + \left( 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right) + \dfrac{n(n+1)}{2}$

4. b) $T_n = \dfrac{S_n}{n^2} = \dfrac{6}{n^2} \times \left( 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right) + \dfrac{n+1}{2n}$ donc $T_n = \dfrac{6}{n^2} \times \left( 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right) + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2n}$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{2}{3} \right)^n = 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac{6}{n^2} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \dfrac{6}{n^2} \times \left( 1 - \left( \dfrac{2}{3} \right)^{n+1} \right) = 0$
$\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left( \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2n} \right) = \dfrac{1}{2}$ donc $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} T_n = \dfrac{1}{2}$

exercice 4 - Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité

1. $v_{n+1} = 0,95 v_n + 0,01 c_n$ et $c_{n+1} = 0,05 v_n + 0,99 c_n$

2. $Y = A X = \left( \begin{matrix} 0,95 & 0,01 \\ 0,05 & 0,99 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} a \\b \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 0,95a+0,01b \\ 0,05a + 0,99 b \end{matrix} \right)$ donc $c = 0,95 a + 0,01 b$ et $d = 0,05 a + 0,99 b$

3. a) $P Q = Q P = \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\ 0& 6 \end{matrix} \right) = 6 I_2$ donc $P^{-1} = \dfrac{1}{6}Q$ .

3. b) $A P = \left( \begin{matrix} 0,95 & 0,01 \\ 0,05 & 0,99 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1&-1 \\ 5&1 \end{matrix} \right) = \left( \begin{matrix} 1 & -0,94 \\ 5 & 0,94 \end{matrix} \right)$
donc $P^{-1}AP = \dfrac{1}{6} \left( \begin{matrix} 1 & 1 \\-5 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} 1 & -0,94 \\ 5 & 0,94 \end{matrix} \right) = \dfrac{1}{6} \left( \begin{matrix} 6 & 0 \\0 & 5,64 \end{matrix} \right)$
$P^{-1} A P = \left( \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0,94 \end{matrix} \right) = D$

3. c) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $A^n = P D^n P^{-1}$ .
Initialisation : $n = 1$ , $P^{-1} A P = D$ donc $P P^{-1} A P P^{- 1} = P D P^{- 1}$ donc $A = P D P^{- 1}$
La propriété est vérifiée pour $n = 1$ .
Hérédité : Montrons que pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, si $A^n = P D^n P^{- 1}$ alors $A^{n+1} = P D^{n+1} P^{- 1}$ .
$A^{n+1} = A \times A^n = P D P^{-1} P D^n P^{-1} = P D \times D^n P^{-1}$ donc $A^{n+1} = P D^{n + 1} P^{-1}$ .
La propriété est héréditaire donc pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 1, $A^n = P D^n P^{-1}$ .

4. -1 < 0,94 < 1 donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} 0,94^n = 0$ donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \dfrac{1}{6} v_0 + \dfrac{1}{6} c_0 = \dfrac{1}{6}( v_0 + c_0 )$
Le 1^er janvier 2013, cette région comptait 250 000 habitants donc $v_0 + c_0 = 250\,000$ donc $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} v_n = \dfrac{1}{6} \times 250\,000$
La répartition de la population de cette région à long terme sera donc de $\dfrac{1}{6} \times 250\,000$ dans les villes et $\dfrac{5}{6} \times 250\,000$ dans les campagnes soit 1 habitant dans les villes pour 5 dans les campagnes.

Publié par david9333/Cherchell le 05-07-2013

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