Fiche de mathématiques

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Baccalauréat Technologique
Série Sciences et Technologies du Management et de la Gestion
Polynésie Française - Session Septembre 2014

Durée de l'épreuve : 3 heures Coefficient : 3

L'usage de la calculatrice est autorisé pour cette épreuve.

Le candidat doit traiter les quatre exercices.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.

6 points

exercice 1

Pour une nouvelle mine de plomb, les experts d'une entreprise modélisent le chiffre d'affaires (en milliers d'euros) avec la fonction $f$ définie sur [0 ; 2 000] par : $f(x) = \dfrac{x^2}{x + 1 000}$ où $x$ désigne la masse de plomb vendue, exprimée en tonnes. La représentation graphique de cette fonction est tracée en annexe 1 qui sera à rendre avec la copie.

Bac STMG Polynésie Française Septembre 2014 - terminale : image 1

Partie A

1. On note $f'$ la dérivée de $f$ sur [0 ; 2 000], montrer que: $f'(x) = \dfrac{x^2 + 2 000 x}{ (x + 1 000)^2}$ .
2. Déterminer le signe de $f'(x)$ sur [0 ; 2 000] ; en déduire le tableau de variations de $f$ .

3. Résoudre l'équation $f(x) = 500$ sur [0 ; 2000].

4. Que signifie ce résultat pour l'entreprise ?

Partie B

Les coûts d'extraction et de traitement sont donnés (en milliers d'euros) par la fonction linéaire : $g(x) = 0,6x$ où $x$ désigne la masse de plomb vendue, exprimée en tonnes.

1. Tracer la droite d'équation $y = 0,6x$ sur le graphique donné en annexe 1 à rendre avec la copie.

2. Les géologues ont prévu d'extraire 1 400 tonnes de plomb.
Le chiffre d'affaires sera-t-il supérieur au coût? Justifier la réponse.

7 points

exercice 2

Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de manière indépendante.

D'après l'INSEE, l'espérance de vie à la naissance est passée pour les hommes de 59,9 ans en 1946 à 78,5 ans en 2012. Pour les femmes, elle est passée de 65,2 ans à 84,9 ans durant la même période.

Première partie

On se propose ici de modéliser l'évolution de l'espérance de vie pour les hommes par la suite arithmétique $\left(U_{n}\right)$ de premier terme $U_{0} = 59,9$ et de raison $r = 0,25$ .

1. Calculer $U_{1}, U_{2}$ et $U_{3}$ qui correspondent aux années 1947, 1948 et 1949.

2. Donner $U_{n}$ en fonction de $n$ .

3. Déterminer $U_{66}$ .

4. Entre 1946 et 2012 les hommes ont-ils gagné, en réalité, plus de 3 mois d'espérance de vie chaque année en moyenne ?

Deuxième partie

1. Déterminer, à 10^-2 près, le taux d'évolution global de l'espérance de vie pour les hommes exprimé en pourcentage de 1946 à 2012.

2. Des hommes ou des femmes, qui a le taux d'évolution global le plus élevé durant cette période ?

3. Calculer pour les hommes le taux annuel moyen, pour cette période, exprimé en pourcentage à 10^-2 près.

Troisième partie

Soit l'algorithme suivant :

VARIABLES
    $n$ EST DU TYPE NOMBRE
    $A$ EST DU TYPE NOMBRE
    $B$ EST DU TYPE NOMBRE
    $T$ EST DU TYPE NOMBRE
DÉBUT ALGORITHME
    AFFICHER «Entrez la valeur initiale».
    ENTRER $A$
    AFFICHER «Entrer le nombre d'années»
    ENTRER $n$
    AFFICHER «Entrez la valeur finale»
    ENTRER $B$
    $T$ PREND LA VALEUR $(B - A)/ A$
    $T$ PREND LA VALEUR $(1 + T)^{\frac{1}{n}}$
    $T$ PREND LA VALEUR $(T - 1) \times 100$
    AFFICHER $T$
FIN ALGORITHME

1. Que calcule cet algorithme ?

2. Si on choisit : $A = 65,2$ ; $B = 84,9$ ; $n = 66$ , quel sera le résultat affiché à 10^-2 près ?

3 points

exercice 3

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, une seule des réponses proposées est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.
Aucune justification n'est demandée.
Une réponse juste rapporte 1 point ; une réponse fausse ainsi que l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.

Une usine remplit des bouteilles. On admet que la variable aléatoire $X$ , correspondant à la quantité de liquide, exprimée en cL, dans une bouteille choisie au hasard suit la loi normale d'espérance 75 et d'écart type 2.

1. Quelle est à 10^-2 près la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard contienne une quantité de liquide inférieure ou égale à 71 cL ?

a) 0,02

b) 0,5

c) 0

d) 0,98

2. Quelle est, à 10^-2 près, la probabilité qu'une bouteille prélevée au hasard contienne une quantité de liquide qui appartient à l'intervalle [71 ; 79] ?

a) 0,02

b) 0,95

c) 0,98

d) 1

3. Les responsables de l'usine ont noté, chaque jour pendant une semaine, le pourcentage de bouteilles qui contenaient une quantité de liquide n'étant pas comprise entre 71 cL et 79 cL. Ces bouteilles sont considérées comme mal remplies.
La série statistique ci-dessous donne l'évolution du pourcentage $y_{i}$ de bouteilles mal remplies en fonction de $x_{i}$ (rang du jour).

Rang du jour $x_{i}$	1	2	3	4	5	6	7
Pourcentages $y_{i}$	3,8	4	3,9	4,5	4,3	4,6	4,5

Une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés où les coefficients sont arrondis au centième, est :

a) $y = 3,70x + 0,13$

b) $y = -20,67x + 5,83$

c) $y = 3,7x + 0,1$

d) $y = 0,13x +3,7$

4 points

exercice 4

Dans une classe de terminale STMG, les élèves se répartissent suivant le tableau ci-dessous:

	Garçons	Filles	Total
Redoublants	3	5	8
Non redoublants	6	22	28
Total	9	27	36

Pour toutes les questions on donnera les réponses à 10^-2 près.

1. Si on interroge un élève au hasard dans cette classe, quelle est la probabilité de choisir un redoublant ?

2. Sachant que l'on interroge une fille, quelle est la probabilité de choisir une non redoublante ?
Dans cette même classe, les élèves ont choisi comme spécialité soit ressources humaines et communication soit mercatique.
Après avoir choisi la fiche d'un élève au hasard, on définit les évènements suivants :
    $R$ : «l'élève a choisi ressources humaines et communication»
    $M$ : «l'élève a choisi mercatique»
    $G$ : «l'élève est un garçon»
    $F$ : «l'élève est une fille»

3. Compléter l'arbre de probabilités en annexe 2 à rendre avec la copie.

Bac STMG Polynésie Française Septembre 2014 - terminale : image 2

4. Quelle est la probabilité de choisir une fille qui est en ressources humaines et communication ?

5. Calculer la probabilité de choisir un garçon, sachant que sa spécialité est ressources humaines et communication.

Publié par TP/ le 30-11--0001

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