Fiche de mathématiques

Fonctions

exercice 1

Dérivée d'une fonction composée
Calculer la dérivée des fonctions $f$ suivantes définies sur $\mathbb{R}$ :
$f(x) = (-2x + 1)^2\\ f(x) = (3x - 1)^3\\ f(x) = (-x^2 + 2)^2$

1. En développant $f(x)$ .
2. En utilisant le théorème de la dérivée des fonctions composées.

exercice 2

Calculs de dérivées
Calculer la dérivée de la fonction $f$ en précisant son ensemble de définition et celui de sa dérivée.
$f(x) = (2x^2 - x + 1)^3\\ f(x) = (5x - 2)^2(x^2 + 3x - 1)^2\\ f(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)\\ f(x) = \displaystyle \frac{1}{x^2}\\ f(x) = \displaystyle -\frac{1}{x} + \frac{3}{x^3}\\ f(x) = -2x^3 + x + \frac{4}{x^2}$

exercice 3

Dérivées successives
Calculer les dérivées d'ordre 1 à n , n $\in \mathbb{N}^*$ , de $f$ sur l'intervalle I en utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence.

$f(x) = x^4 - 6x^2 + 5$	I = $\mathbb{R}$
$f(x) = \displaystyle \frac{1}{x - 2}$	I = ]2; + $\infty$ [
$f(x) = \cos (3x)$	I = $\mathbb{R}$

exercice 4

Tangentes
Pour chacune des fonctions suivantes, écrire une équation de la tangente au point A d'abscisse a de la représentation graphique de la fonction $f$ .

$f(x) = 3x^2 - 5x + 1$	pour a = -1, a = 2 et a = 3
$f(x) = x - 1 + \displaystyle \frac{1}{x + 2}$	pour a = -4, a = 1 et a = 2
$f(x) = \tan x$	pour a = 0, a = $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ et a = $\displaystyle \frac{\pi}{4}$

exercice 5

Asymptotes
Pour chacune des fonctions suivantes, écrire des équations des asymptotes parallèles aux axes.
$f(x) = \dfrac{2x + 1}{x}\\ f(x) = \dfrac{5x^2 - 2x + 1}{x^2 - 4}\\ f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}\\ f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2 - 3x + 2}\\ f(x) = \dfrac{x^2 - x + 3}{x^2 + x + 1}\\ f(x) = \dfrac{2x^3 - 3x}{x^3 - x^2}$

exercice 6

Limites
Calculer les limites suivantes en justifiant les résultats.
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \sqrt{2x^2 - x + 3}\\ \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \sqrt{2x^2 - x + 3}\\ \displaystyle \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (\tan x)^2\\ \displaystyle \lim_{x \to 0} \cos \sqrt{x}\\ \displaystyle \lim_{x \to +\infty} {x - \sqrt{x^3 - 1}}$

exercice 7

Périodicité
Trouver la période de chacune des fonctions suivantes :
$f(x) = \cos \left(x + \dfrac{\pi}{6}\right)\\ f(x) = \sin \dfrac{x}{3}\\ f(x) = \sin \dfrac{x}{2} + \cos x\\ f(x) = \tan \left(2 \pi x\right)$

exercice 8

Symétries
Un repère orthogonal du plan est donné.
Pour chacun des cas suivants, montrer que la droite $\mathcal{D}$ est axe de symétrie de la représentation graphique de $f$ .

$f(x) = x^2 - 2x + 5$	$\mathcal{D} \hspace{2pt}:\hspace{2pt} x = 1$
$f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 2}{2x^2 + 4x + 3}$	$\mathcal{D} \hspace{2pt}:\hspace{2pt} x = -1$
$f(x) = \cos^4 x - 2\cos^2 x$	$\mathcal{D} \hspace{2pt}:\hspace{2pt} x = \dfrac{\pi}{2}$

exercice 9

Equations trigonométriques
Dans chaque équation, l'inconnue $x$ est une mesure d'angle en radians.
Résoudre ces équations dans $\mathbb{R}$ et représenter leurs solutions par des points du cercle trigonométrique.
$\cos x = \dfrac12\\ 2\cos\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = 1\\ \sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ 2\sin\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{3}\\ \cos 2x = \cos 3x \\ \cos x = \sin 2x$

exercice 10

Inéquations trigonométriques
Résoudre chacune des inéquations suivantes dans l'intervalle $\left[0; 2\pi\right[$ .
La résolution sera fondée sur l'observation du cercle trigonométrique.
$\sin x < \dfrac12\\ 2\cos x - \sqrt{2} < 0\\ \cos x > -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \sin x \hspace{2pt} \cos x < 0$

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