Fiche de mathématiques

Fonctions

exercice 1

Dérivabilité
Soit $f$ la fonction définie sur $[0 ; +\infty[$ par $x \mapsto x \sqrt{x}$ .
Montrer que $f$ est dérivable sur $[0 ; +\infty[$ et calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ positif.

exercice 2

Usage de la quantité conjuguée
Chercher la limite en $+\infty$ de $x \mapsto \sqrt{x^2 + x} - x.$

exercice 3

Etude d'une fraction rationnelle
Soit $f$ la fonction définie sur $D = \mathbb{R} - \lbrace -1 \rbrace$ par $f(x) = \dfrac{x^2+3}{x+1}.$
On désigne par $C$ la courbe représentative de $f$ dans le plan rapporté au repère orthonormal $(O ; \vec{i} , \vec{j}).$

Déterminer trois réels a, b et c tels que : pour tout $x \in D \, , \, f(x) = a x + b + \dfrac{c}{x + 1}.$

Etudier les limites en $+\infty$ et $-\infty$ de la fonction $g$ définie sur $D$ par : $g(x) = f(x) - x + 1.$
Que peut-on en conclure pour $C$ et la droite $\Delta$ d'équation $y=x-1$ ?
Etudier la position de $C$ par rapport à $\Delta$ .

Etudier les variations de $f$ . Tracer $C$ .

Montrer que le point I(-1 ; -2) est centre de symétrie de $C$ .

exercice 4

Fonction tangente
Etudier la fonction $\tan : x \mapsto \dfrac{\sin x}{\cos x}.$

exercice 5

Inégalité des accroissements finis
A l'aide du théorème des inégalités des accroissements finis, montrer que, pour tout $x \in \left[ 0 ; \dfrac{\pi}{2} \right] \, , \, 0 \leq \sin x \leq x.$

exercice 6

Théorème des valeurs intermédiaires
Soit $f$ continue, dérivable sur[0;1].
Pour tout $x$ dans [0;1], alors $f(x)$ appartient aussi à [0;1] et $f'(x)<1$ .
Montrer que l'équation $f(x)=x$ a une solution unique sur [0;1].

exercice 7

Résolution d'équation
Montrer que l'équation $x^5 + x - 3 = 0$ a une solution unique sur $\mathbb{R}$ dont on donnera un encadrement d'amplitude 0,1.

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