Fiche de mathématiques

Calcul intégral

exercice 1

Calculer les intégrales suivantes :
$\displaystyle I_1=\int_{0}^{\pi} \cos t \text{ d}t$
$\displaystyle I_2=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin \left(t+\dfrac{\pi}{4}\right) \text{ d}t$
$\displaystyle I_3=\int_{0}^{1} (t^3 + 2t^2 + 4t + 1) \text{ d}t$
$\displaystyle I_4=\int_{-3}^{3} (12t^{17} + 2t^3 - t) \text{ d}t$
$\displaystyle I_5=\int_{-\ln 2}^{\ln 3} (1 - 2e^t) \text{ d}t$
$\displaystyle I_6=\int_{0}^{1} \frac{2t}{\sqrt{1+t^2}} \text{ d}t$

exercice 2

Soit $\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{\text{ d}x}{\sqrt{x^2+2}}$ .
1. Calculer la dérivée de la fonction $x \mapsto \sqrt{x^2+2}$ .
2. En déduire la dérivée de la fonction $f$ définie sur [0; 1] par $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2+2})$ .
3. Calculer $I$ .

exercice 3

Calculer les intégrales suivantes à l'aide d'une intégration par parties :
$\displaystyle \text{A}=\int_{0}^{\pi} (x \sin x) \text{ d}x$
$\displaystyle \text{B}=\int_{1}^{e} \ln t \text{ d}t$
$\displaystyle \text{C}=\int_{-1}^{0} (2u+1)e^{-u} \text{ d}u$

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