Probabilités

I. Une urne contient neuf boules : deux boules portant le numéro 1, quatre boules portant le numéro 2 et trois boules portant le numéro 3.
On prend au hasard une boule dans l'urne (on suppose que tous les tirages sont équiprobables).
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro de la boule tirée.
Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique E(X).

II. Les boules sont maintenant réparties dans une urne A et une urne B : l'urne A contient deux boules portant le numéro 1 et deux boules portant le numéro 2, l'urne B contient deux boules portant le numéro 2 et trois boules portant le numéro 3.
On considère l'épreuve aléatoire suivante : on prend au hasard une boule dans l'urne A (chacune des quatre boules a la même probabilité d'être tirée), on place cette boule dans l'urne B, on prend au hasard une boule dans l'urne B (chacune des six boules a la même probabilité d'être tirée), on place cette boule dans l'urne A.

Soit les événements suivants :
A₁ : « la boule prise dans l'urne A porte le numéro 1 »
A₂ : « la boule prise dans l'urne A porte le numéro 2 »
B₁ : « la boule prise dans l'urne B porte le numéro 1 »
B₂ : « la boule prise dans l'urne B porte le numéro 2 »
1. Déterminer :
   a) la probabilité de A₁ ;
   b) la probabilité de B₁, sachant que A₁ est réalisé ;
   c) Montrer que la probabilité de A₁ inter B₁ est .
2. Montrer que la probabilité de A₂ inter B₂ est .
3. Calculer la probabilité que, à l'issue de l'épreuve, l'urne A se retrouve dans son état initial, c'est-à-dire qu'elle contienne à nouveau deux boules portant le numéro 1 et deux boules portant le numéro 2.