Fiche de mathématiques
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Probabilités

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I. Une urne contient neuf boules : deux boules portant le numéro 1, quatre boules portant le numéro 2 et trois boules portant le numéro 3.
On prend au hasard une boule dans l'urne (on suppose que tous les tirages sont équiprobables).
On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro de la boule tirée.
Donner la loi de probabilité de X et calculer son espérance mathématique E(X).

II. Les boules sont maintenant réparties dans une urne A et une urne B : l'urne A contient deux boules portant le numéro 1 et deux boules portant le numéro 2, l'urne B contient deux boules portant le numéro 2 et trois boules portant le numéro 3.
On considère l'épreuve aléatoire suivante : on prend au hasard une boule dans l'urne A (chacune des quatre boules a la même probabilité d'être tirée), on place cette boule dans l'urne B, on prend au hasard une boule dans l'urne B (chacune des six boules a la même probabilité d'être tirée), on place cette boule dans l'urne A.

Soit les événements suivants :
A1 : « la boule prise dans l'urne A porte le numéro 1 »
A2 : « la boule prise dans l'urne A porte le numéro 2 »
B1 : « la boule prise dans l'urne B porte le numéro 1 »
B2 : « la boule prise dans l'urne B porte le numéro 2 »

1. Déterminer :
    a) la probabilité de A1 ;
    b) la probabilité de B1, sachant que A1 est réalisé ;
    c) Montrer que la probabilité de A1 \cap B1 est \dfrac{1}{12}.

2. Montrer que la probabilité de A2 \cap B2 est \dfrac{1}{4}.

3. Calculer la probabilité que, à l'issue de l'épreuve, l'urne A se retrouve dans son état initial, c'est-à-dire qu'elle contienne à nouveau deux boules portant le numéro 1 et deux boules portant le numéro 2.




I. L'urne contient 9 boules : 2 portent le numéro 1, 4 le numéro 2 et 3 le numéro 3.
On tire au hasard une boule de cette urne, et tous les tirages sont équiprobables.
X désignant la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le numéro de la boule tirée, nous en déduisons que :
p(X = 1) = \dfrac{2}{9} ,    p(X = 2) = \dfrac{4}{9} ,    p(X = 3) = \dfrac{3}{9} = \dfrac{1}{3}.
La loi de probabilité de X est la suivante :

xi 1 2 3
p(X = xi) \dfrac{2}{9} \dfrac{4}{9} \dfrac{1}{3}


Nous avons : E(X) = 1 × p(X = 1) + 2 × p(X = 2) + 3 × p(X = 3)
E(X) = \dfrac{2}{9} + \dfrac{8}{9} + 1
E(X) = \dfrac{19}{9}.
L'espérance mathématique de X est égale à \dfrac{19}{9}.

II. 1. a) p(A1) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.

b) Si A1 est réalisé, il y a alors 6 boules dans l'urne B et une seule porte le numéro 1 (c'est celle qui a été tirée dans l'urne A).
Nous pouvons en déduire que : p(B1/A1) = \dfrac{1}{6}.

c) p(A1\capB1) = p(B1/A1)× p(A1) = \dfrac{1}{12}.

2. Procédons de même pour calculer la probabilité A2\capB2.
L'urne A contient 4 boules dont 2 portent le numéro 2, donc : p(A2) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}.
Si l'événement A2 est réalisé, l'urne B contient 6 boules et 3 d'entre elles portent le numéro 2. Par conséquent, p(B2/A2) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}.
D'où : p(A2\capB2) = p(B2/A2)×p(A2) = \dfrac{1}{4}.

3. A l'issue de l'épreuve, l'urne A se retrouve dans son état initial lorsque l'on a:
soit tiré de l'urne A une boule portant le numéro 1, et ensuite tiré une boule portant le numéro 1 de l'urne B, ce qui correspond à l'événement A1\capB1.
soit tiré une boule portant le numéro 2 de l'urne A, puis tiré une boule portant le numéro 2 de l'urne B, ce qui correspond à l'événement A2\capB2.
Les événements A1\capB1 et A2\capB2 sont incompatibles.
La probabilité p pour que l'urne A se retrouve dans son état initial est donc donnée par :
p = p((A1\capB1)\cup(A2\capB2)) = p(A1\capB1) + p(A2\capB2) = \dfrac{1}{3}.
Donc la probabilité pour que l'urne A se retrouve dans son état initial à l'issue de l'épreuve est égale à \dfrac{1}{3}.
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