Ce chapitre s'appuie sur les connaissances que tu as acquises sur les probabilités au lycée. Il faut que tu
sois capable de synthétiser un énoncé à l'aide d'un tableau ou d'un arbre. La notion d'événement contraire et le cours sur la loi binomiale doivent être bien compris.
Enjeu :
Le but de ce chapitre est de calculer des probabilités d'événements sachant qu'un autre s'est déjà produit.
Il faudra être très rigoureux dans l'analyse des énoncés pour déterminer quelle probabilité est demandée.
1 Probabilité conditionnelle
Voici un tableau fournissant, dans une classe, la répartition des filles et des garçons demi-pensionnaires et externes.
On remarque pour la construction du tableau, que sur une ligne (ou une colonne), un événement et son contraire sont écrits : (demi-pensionnaire ou externe d'une part, fille ou garçon d'autre part).
On choisit un élève au hasard. On appelle : l'évenement "l'élève est une fille" l'évenement "l'élève est un garçon" l'évenement "l'élève est demi-pensionnaire"
On a donc ,
L'événement "l'élève choisi est une fille demi-pensionnaire" est .
Sa probabilité est .
Tous ces calculs font intervenir l'effectif total de la classe. Voyons maintenant ce qui se passe quand on se restreint
à un groupe particulier.
L'élève choisi est une fille. La probabilité qu'elle soit demi-pensionnaire est de .
Cette probabilité est une probabilité conditionnelle c'est-à-dire qu'on a considéré qu'un événement s'est déjà
produit et on calcule la probabilité d'un second événement. On va noter cette probabilité .
On constate que .
Définition :
On considère deux événements et d'un univers tels que
.
La probabilité que l'événement se réalise sachant que l'événement est déjà réalisé (on dira plus simplement
la probabilité de sachant ) est .
Exemple : En reprenant les données du tableau, la probabilité de sachant est :
.
Il s'agit de la probabilité que l'élève soit une fille sachant qu'on a choisi un élève demi-pensionnaire.
Remarque : Il s'agit d'un nouveau type de probabilité mais ces probabilités conditionnelles vérifient les mêmes
propriétés que les probabilités vues jusque là.
Propriétés :
On considère deux événements et d'un univers tels que
.
On a : . . .
Démonstration : Il s'agit d'un quotient de nombres positifs donc .
De plus l'événement est inclus dans . Par conséquent . Ainsi . . .
La définition d'une probabilité conditionnelle nous permet d'écrire cette propriété fournissant la probabilité de l'intersection de
deux événements.
Propriété :
On considère deux événements et d'un univers tels que
. (avec pour cette dernière égalité).
Démonstration :
On a donc .
Si on a également donc .
2 Arbres pondérés
Il est parfois utile de schématiser une situation dans laquelle interviennent les probabilités par un arbre. On note dans cet arbre
les événements et les probabilité associées.
On reprend l'exemple du début de chapitre. On peut repésenter la situation à l'aide de l'arbre suivant :
Remarques : Les probabilités inscrites au premier niveau sont et . Au deuxième niveau il s'agit des probabilités conditionnelles sachant ou sachant .
On devrait écrire en toute rigueur sachant , sachant etc. ce qui n'est pas fait dans la pratique. La somme des probabilités issues d'un noeud vaut toujours . Pour calculer par exemple , il suffit de multiplier les probabilités du chemin passant par et .
Propriété (Formule des probabilités totales) :
On considère deux événements et tels que
.
On a .
Remarque : On peut généraliser cette propriété en disant que est égale à la somme des probabilités des feuilles d'un arbre auxquelles est associé.
Cela permet de traiter les cas où est associé à plus de deux événements. Exemple : D'après la formule des probabilités totales on a :
On retrouve évidemment le résultat fourni par le tableau.
3 Evénements indépendants
Lorsque deux événements se produisent il est naturel de se poser la question si l'un a ou n'a pas d'influence sur l'autre. C'est ce qu'on appelle en probabilité l'indépendance.
Définition :
On considère deux événements et d'un univers . et sont dits indépendants si, et seulement si, .
Exemple : On tire, au hasard, une carte dans un jeu de cartes.
On appelle : "la carte tirée est un as"; "la carte tirée est rouge". (puisqu'il n'y a que deux as rouges dans le jeu).
D'autre part :
Par conséquent les événements et sont indépendants.
Propriété :
Si deux événements et sont indépendants alors les événements et le sont aussi.
Démonstration :
D'après la formule des probabilités totales on a :
Par conséquent .
Donc et sont indépendants.
Il existe une autre façon de caractériser l'indépendance de deux événements :
Propriété :
Deux événements et de probabilité non nulle sont indépendants
si, et seulement si, (ou si, et seulement si, ).
Démonstration : et indépendants
car
On procèderait de la même façon pour montrer la deuxième équivalence.
Remarque : Attention à ne pas confondre "événements indépendants" et "événements incompatibles".
Publié par Prof digiSchool
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l'évenement "l'élève est une fille"
l'évenement "l'élève est un garçon"
l'évenement "l'élève est demi-pensionnaire"=\dfrac{17}{32})
, =\dfrac{24}{32})
.=\dfrac{11}{32})
.
.)
.=\dfrac{\dfrac{11}{32}}{\dfrac{17}{32}} = \dfrac{p(F\cap D)}{p(F)})
.=\dfrac{p(D \cap F)}{p(D)} = \dfrac{\dfrac{11}{32}}{\dfrac{24}{32}} = \dfrac{11}{24})
. 
et 
d'un univers 
tels que
\neq 0)
.
 \leqslant 1)
. +p_A\left(\overline{B}\right)=1)
.=0)
.=\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)})
Il s'agit d'un quotient de nombres positifs donc  \geqslant 0)
.
est inclus dans  \le p(A))
. Ainsi \leqslant 1)
.+p_A\left(\overline{B}\right) = \dfrac{p(A\cap B)}{p(A)}+\dfrac{p\left(A \cap \overline{B}\right)}{p(A)} = \dfrac{p(A\cap B)+p\left(A \cap \overline{B}\right)}{p(A)} = \dfrac{p(A)}{p(A)}=1)
. = \dfrac{p(A \cap \varnothing)}{p(A)} = \dfrac{0}{p(A)} = 0)
.=\dfrac{p(A \cap B)}{p(A)})
donc =p_A(B)\times p(A))
.\neq 0)
on a également =\dfrac{p(A \cap B)}{p(B)})
donc =p_B(A) \times p(B))
.
Les probabilités inscrites au premier niveau sont )
et )
.
sachant 
sachant 
.)
, il suffit de multiplier les probabilités du chemin passant par )
est égale à la somme des probabilités des feuilles d'un arbre auxquelles &= p(F\cap D)+p(G \cap D) \\\\ &= \dfrac{17}{32}\times \dfrac{11}{17} + \dfrac{15}{32} \times \dfrac{13}{15} \\\\ &=\dfrac{24}{32} \\\\ &=\dfrac{3}{4} \end{array})
cartes.=\dfrac{4}{52} = \dfrac{2}{27}\qquad p(B)=\dfrac{1}{2}\qquad p(A \cap B) = \dfrac{2}{52}=\dfrac{1}{27})
(puisqu'il n'y a que deux as rouges dans le jeu). \times p(B) = \dfrac{2}{27} \times \dfrac{1}{2} =\dfrac{1}{27}=p(A \cap B))
&=p(A\cap B)+p\left(A\cap \overline{B}\right) \\ &=p(A)\times p(B) + p\left(A\cap \overline{B}\right) \;\;\text{ car } A \text{ et } B \text{ sont des événements indépendants.} \end{array})
 =p(A)-p(A)\times p(B) = p(A)\left(1-p(B)\right) = p(A)\times p\left(\overline{B}\right))
.
sont indépendants.=p(B))
=p(A))
). =p(A)\times p(B))
 \times p(A) = p(A) \times p(B))
=p(B))
car =p_A(B)\times p(A) = p_B(A)\times p(B))
(avec <1)
.=p(A\cap B) + p\left(\overline{A}\cap B\right) = p(A)\times p_A(B)+p\left(\overline{A}\right)\times p_{\overline{A}}(B))
. = p(A) \times p(B))
.