Suites

Exercice 1

En 1990, Monsieur Dufisc a fait sa première déclaration d'impôt sur le revenu : il a déclaré un revenu annuel de 90 000 francs, l'impôt correspondant s'est élevé à 8 000 francs et son revenu après impôt a donc été de 82 000 francs.
Chacune des quatre années suivantes, son revenu annuel a augmenté de 2% et l'impôt correspondant a augmenté de 3%.
Monsieur Dufisc souhaite étudier ce qu'il adviendrait de son revenu après paiement de l'impôt si l'évolution constatée se poursuivait.
Dans ce but, on suppose que l'évolution constatée se poursuit et, pour tout entier n positif ou nul, on note :

R_n le montant, exprimé en francs, du revenu annuel de Monsieur Dufisc en l'an (1990 + n),

I_n le montant, exprimé en francs, de l'impôt correspondant,

U_n = R_n - I_n, le revenu après impôt.
(R₀ = 90 000, I₀ = 8 000, U₀ = 82 000)
1. a) Calculer R₁, I₁, U₁, R₂, I₂, U₂.
   b) Montrer que, pour tout entier positif n, on a :
    R_n = 90 000 × (1,02)ⁿ
    I_n = 8 000 × (1,03)ⁿ
2. a) Montrer que, pour tout entier positif n, U_n+1 - U_n = 1 800 × (1,02)ⁿ - 240 × (1,03)ⁿ.
   b) Montrer que : U_n+1 < U_n équivaut à

.
c) Déterminer les entiers positifs n qui vérifient

.
3. Si l'évolution que Monsieur Dufisc a constatée concernant son revenu et l'impôt correspondant se poursuit, Monsieur Dufisc verra-t-il son revenu après l'impôt diminuer ?

Exercice 2

Depuis qu'il est à la retraite, un homme tond sa pelouse tous les samedis, il recueille chaque fois 120 litres de gazon qu'il stocke dans un bac à compost de 300 litres.
Chaque semaine les matières stockées perdent, après décomposition ou prélèvement les trois quarts de leur volume.
Soit V₁, V₂, V₃ les volumes en litres stockés respectivement les premier, deuxième et troisième samedis après la tonte.
De manière générale, soit V_n le volume stocké le n^ième samedi après la tonte.
1. a) Montrer que V₁ = 120 litres, V₂ = 150 litres, V₃ = 157,5 litres.
b) Calculer les volumes V₄, V₅, V₆ exprimés en litres, stockés respectivement les quatrième, cinquième, sixième samedis après la tonte.
2. Exprimer V_n+1 en fonction de V_n.
3. On définit, pour tout n supegal

1, t_n par : t_n = 160 - V_n.
a) Montrer que (t_n) est la suite géométrique de premier terme t₁ = 40 et de raison

.
b) En déduire les expressions de t_n puis de V_n en fonction de n.
c) Déterminer la limite de (t_n) puis celle de (V_n).

Exercice 3

Au premier janvier 1995, une ville A compte 200 000 habitants. A la même date une ville B a 150 000 habitants.
On a constaté que la population de la ville A diminue de 3% par an et que celle de la ville B augmente de 5% par an.
Dans cet exercice, on suppose que les croissances et les diminutions se poursuivent à ce rythme.
1. Quelles seront les populations des villes A et B au premier janvier 1996 ? au premier janvier 1997 ?
2. Pour tout entier n, on désigne par : a_n la population de la ville A au premier janvier de l'année (1995 + n) et par b_n la population de la ville B à la même date.
   a) Vérifier que les suites (a_n) et (b_n) sont géométriques. Préciser leurs raisons respectives.
   b) Exprimer a_n et b_n en fonction de n.
   c) Au premier janvier de cette année, la population de la ville B sera-t-elle, pour la première fois, supérieure à celle de la ville A ?

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F.A.Q.

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