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Fiche de mathématiques



exercice 1

Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;vectu,vectv).
Dans tout l'exercice, z est un nombre complexe non nul.
A tout point M d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'=complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 1, puis le point I milieu du segment [MM']. L'affixe de I est donc complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 2complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 3.
Note : Les questions 2, 3 et 4 sont largement indépendantes.
1. a) Donner une relation entre les modules de z et z'.
Donner une relation entre leurs arguments.
b) Sur la figure jointe est placé le point M1 d'affixe z1 sur le cercle de centre O et de rayon 2. Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M'1, puis le point I1 milieu de segment [M1M'1].
Effectuer cette construction.
2. Pour cette question, theta est un réel et M est le point d'affixe z =complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 4.
a) Calculer sous forme algébrique l'affixe de I.
b) Sur la figure jointe est placé le point M2 d'affixe z2 sur le cercle (C) de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le résultat de la question 2. a), on peut obtenir géométriquement le point I2 milieu du segment [M2M'2]. Effectuer cette construction.
c) Donner (sans justification) l'ensemble décrit par I lorsque M décrit (C).
3. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O.
a) Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.
b) Développer (z - 2i)² + 3.
Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels l'affixe de I est 2i.
4. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d'affixe z = x + iy (x et y réels).
a) Expliquer en fonction de x et y la partie imaginaire de l'affixe de I.
b) Déterminer l'ensemble A des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des abscisses.
c) Déterminer l'ensemble B des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des ordonnées.
complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 5


exercice 2

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Dans cet exercice question 1. est hors programme
complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 6

Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.
L'espace est orienté par le repère orthonormal direct (O;complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 7,complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 8,complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 9).
On désigne par a un réel strictement positif.
L, M et K sont les points définis par complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 10= acomplexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 8, complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 11=acomplexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 7 et complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 12= acomplexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 13.
1. a) Calculer les coordonnées des vecteurs complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 14etcomplexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 15.
b) En déduire l'aire du triangle DLM.
c) Démontrer que la droite (OK) est orthogonale au plan (DLM).
2. On note H le projeté orthogonal de O (et de K) sur le plan (DLM).
a) Démontrer que complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 11.complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 16 = complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 17.complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 16.
b) Les vecteurs complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 17 et complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 16 étant colinéaires, on note lambda le réel tel que complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 17=lambdacomplexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 16.
Démontrer que lambda = complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 18.
En déduire que H appartient au segment [OK].
c) Déterminer les coordonnées de H.
d) Exprimer complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 19 en fonction de complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 16. En déduire que HK = complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 20.
3. A l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre DLMK en fonction de a.

exercice 3

Problème
Soit f la fonction définie sur [0; +infini[ par : f(x) = complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 21 pour x > 0 et f(0) = 0.
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;vecti,vectj) (unité graphique 5 cm).

Partie 1
1. Démontrer que la droite (delta) d'équation y = 1 est asymptote à (C).
2. Pour x > 0, calculer complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 22.
Etudier la limite de cette expression quand x tend vers 0 (on pourra utiliser, pour n entier naturel non nul, complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 23 une-u = 0)
Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?
3. Démontrer que, pour tout x de ]0 ; +infini[, on a :
f '(x) = complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 24.
4. Etudier les variations de la fonction f et dresser le tableau des variations de f.

Partie 2
On note g la fonction définie sur ]0 ; +infini[ par g(x) = f(x) - x f '(x).
1. Montrer que, dans ]0 ; +infini[, les équations g(x) = 0 et x3 + x² + 2x - 1 = 0 sont équivalentes.
2. Démontrer que l'équation x3 + x² + 2x - 1 = 0 admet une seule racine réelle alpha dont on justifiera un encadrement à 10-2 près.
3. On pose A = complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 25. Encadrer A à 2×10-1 près (justifier) et montrer que A = f '(alpha).
4. Pour tout a > 0, on note (Ta) la tangente à (C) au point d'abscisse a. Montrer que (complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 26) a pour équation y = Ax. Tracer (complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 26), puis la courbe (C).
5. Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes (Ta) à (C) (en des points d'abscisses non nulles), seule (complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 26) passe par l'origine O.

Partie 3
1. Pour nappartientN*, on pose un =complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 27.
Sans calculer explicitement un, déterminer le signe de un+1 - un.
En déduire que la suite (un) est croissante.
2. Démontrer que la fonction h, définie sur ]0 ; +infini[ par : h(x) = (x + 1)complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 28, est primitive de f sur ]0; +infini[.
3. Calculer un. Interpréter graphiquement le résultat.
4. Etudier la convergence de la suite (un).





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