exercice 1

Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O;,).
Dans tout l'exercice, z est un nombre complexe non nul.
A tout point M d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z'=, puis le point I milieu du segment [MM']. L'affixe de I est donc .
Note : Les questions 2, 3 et 4 sont largement indépendantes.
1. a) Donner une relation entre les modules de z et z'.
Donner une relation entre leurs arguments.
b) Sur la figure jointe est placé le point M₁ d'affixe z₁ sur le cercle de centre O et de rayon 2. Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M'₁, puis le point I₁ milieu de segment [M₁M'₁].
Effectuer cette construction.
2. Pour cette question, est un réel et M est le point d'affixe z =.
a) Calculer sous forme algébrique l'affixe de I.
b) Sur la figure jointe est placé le point M₂ d'affixe z₂ sur le cercle (C) de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le résultat de la question 2. a), on peut obtenir géométriquement le point I₂ milieu du segment [M₂M'₂]. Effectuer cette construction.
c) Donner (sans justification) l'ensemble décrit par I lorsque M décrit (C).
3. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O.
a) Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.
b) Développer (z - 2i)² + 3.
Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels l'affixe de I est 2i.
4. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d'affixe z = x + iy (x et y réels).
a) Expliquer en fonction de x et y la partie imaginaire de l'affixe de I.
b) Déterminer l'ensemble A des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des abscisses.
c) Déterminer l'ensemble B des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des ordonnées.

exercice 2

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité Dans cet exercice question 1. est hors programme

Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.
L'espace est orienté par le repère orthonormal direct (O;,,).
On désigne par a un réel strictement positif.
L, M et K sont les points définis par = a, =a et = a.
1. a) Calculer les coordonnées des vecteurs .
b) En déduire l'aire du triangle DLM.
c) Démontrer que la droite (OK) est orthogonale au plan (DLM).
2. On note H le projeté orthogonal de O (et de K) sur le plan (DLM).
a) Démontrer que . = ..
b) Les vecteurs et étant colinéaires, on note le réel tel que =.
Démontrer que = .
En déduire que H appartient au segment [OK].
c) Déterminer les coordonnées de H.
d) Exprimer en fonction de . En déduire que HK = .
3. A l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre DLMK en fonction de a.

exercice 3

Problème
Soit f la fonction définie sur [0; +[ par : f(x) = pour x > 0 et f(0) = 0.
On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O;,) (unité graphique 5 cm).

Partie 1
1. Démontrer que la droite () d'équation y = 1 est asymptote à (C).
2. Pour x > 0, calculer .
Etudier la limite de cette expression quand x tend vers 0 (on pourra utiliser, pour n entier naturel non nul, uⁿe^-u = 0)
Que peut-on en déduire pour la fonction f ?
Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?
3. Démontrer que, pour tout x de ]0 ; +[, on a :
f '(x) = .
4. Etudier les variations de la fonction f et dresser le tableau des variations de f.

Partie 2
On note g la fonction définie sur ]0 ; +[ par g(x) = f(x) - x f '(x).
1. Montrer que, dans ]0 ; +[, les équations g(x) = 0 et x³ + x² + 2x - 1 = 0 sont équivalentes.
2. Démontrer que l'équation x³ + x² + 2x - 1 = 0 admet une seule racine réelle dont on justifiera un encadrement à 10^-2 près.
3. On pose A = . Encadrer A à 2×10^-1 près (justifier) et montrer que A = f '().
4. Pour tout a > 0, on note (T_a) la tangente à (C) au point d'abscisse a. Montrer que () a pour équation y = Ax. Tracer (), puis la courbe (C).
5. Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes (T_a) à (C) (en des points d'abscisses non nulles), seule () passe par l'origine O.

Partie 3
1. Pour n*, on pose u_n =.
Sans calculer explicitement u_n, déterminer le signe de u_n+1 - u_n.
En déduire que la suite (u_n) est croissante.
2. Démontrer que la fonction h, définie sur ]0 ; +[ par : h(x) = (x + 1), est primitive de f sur ]0; +[.
3. Calculer u_n. Interpréter graphiquement le résultat.
4. Etudier la convergence de la suite (u_n).