Fiche de mathématiques

Sujet de Bac

exercice 1

Commun à tous les candidats
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal (O; $\vec{u}$ , $\vec{v}$ ).
Dans tout l'exercice, $z$ est un nombre complexe non nul.
A tout point M d'affixe $z$ , on associe le point M' d'affixe $z'=\dfrac{1}{z}$ , puis le point I milieu du segment [MM']. L'affixe de I est donc $\dfrac{1}{2}\left(z-\dfrac{1}{z}\right)$ .
Note : Les questions 2, 3 et 4 sont largement indépendantes.

1. a) Donner une relation entre les modules de $z$ et $z'$ .
Donner une relation entre leurs arguments.
    b) Sur la figure jointe est placé le point M₁ d'affixe z₁ sur le cercle de centre O et de rayon 2. Expliquer comment on peut obtenir géométriquement le point M'₁, puis le point I₁ milieu de segment [M₁M'₁].
Effectuer cette construction.

2. Pour cette question, $\theta$ est un réel et M est le point d'affixe $z =e^{i\theta}$ .
    a) Calculer sous forme algébrique l'affixe de I.
    b) Sur la figure jointe est placé le point M₂ d'affixe z₂ sur le cercle (C) de centre O et de rayon 1. Expliquer comment, en utilisant le résultat de la question 2. a), on peut obtenir géométriquement le point I₂ milieu du segment [M₂M'₂]. Effectuer cette construction.
    c) Donner (sans justification) l'ensemble décrit par I lorsque M décrit (C).

3. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O.
    a) Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels M et I sont confondus.
    b) Développer (z - 2i)² + 3.
Déterminer les points M du plan complexe pour lesquels l'affixe de I est 2i.

4. Dans cette question, M est un point du plan, distinct de O, d'affixe z = x + iy (x et y réels).
    a) Expliquer en fonction de x et y la partie imaginaire de l'affixe de I.
    b) Déterminer l'ensemble A des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des abscisses.
    c) Déterminer l'ensemble B des points M du plan pour lesquels I appartient à l'axe des ordonnées.
complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 5

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exercice 2

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité - Dans cet exercice question 1. est hors programme
complexes, calcul vectoriel, problème - sujet de bac - terminale : image 6

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Soit le cube OABCDEFG représenté par la figure ci-dessus.
L'espace est orienté par le repère orthonormal direct (O; $\overrightarrow{\text{OA}}$ , $\overrightarrow{\text{OC}}$ , $\overrightarrow{\text{OD}}$ ).
On désigne par $a$ un réel strictement positif.
L, M et K sont les points définis par $\overrightarrow{\text{OL}} = a \overrightarrow{\text{OC}}$ , $\overrightarrow{\text{OM}} = a \overrightarrow{\text{OA}}$ et $\overrightarrow{\text{BK}} = a \overrightarrow{\text{BF}}$ .

1. a) Calculer les coordonnées des vecteurs $\overrightarrow{\text{DM}} \wedge \overrightarrow{\text{DL}}$ .
    b) En déduire l'aire du triangle DLM.
    c) Démontrer que la droite (OK) est orthogonale au plan (DLM).

2. On note H le projeté orthogonal de O (et de K) sur le plan (DLM).
    a) Démontrer que $\overrightarrow{\text{OM}} . \overrightarrow{\text{OK}} = \overrightarrow{\text{OH}} . \overrightarrow{\text{OK}}$ .
    b) Les vecteurs $\overrightarrow{\text{OH}}$ et $\overrightarrow{\text{OK}}$ étant colinéaires, on note $\lambda$ le réel tel que $\overrightarrow{\text{OH}} = \lambda \overrightarrow{\text{OK}}$ .
Démontrer que $\lambda = \dfrac{a}{a^2+2}$ .
En déduire que H appartient au segment [OK].
    c) Déterminer les coordonnées de H.
    d) Exprimer $\overrightarrow{\text{HK}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{OK}}$ . En déduire que HK = $\dfrac{a^2-a+2}{\sqrt{a^2+2}}$ .

3. À l'aide des questions précédentes, déterminer le volume du tétraèdre DLMK en fonction de $a$ .

probleme

Soit $f$ la fonction définie sur [0; + $\infty$ [ par : $f(x) = \dfrac{x^2+x+1}{x^2}e^{-\frac{1}{x}}$ pour $x > 0$ et $f(0) = 0$ .
On note (C) la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal (O; $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ) (unité graphique 5 cm).

Partie 1

1. Démontrer que la droite ( $\delta$ ) d'équation y = 1 est asymptote à (C).

2. Pour $x > 0$ , calculer $\dfrac{f(x)-f(0)}{x}$ .
Étudier la limite de cette expression quand $x$ tend vers 0 (on pourra utiliser, pour $n$ entier naturel non nul, $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u^{n}e^{-u} = 0$ )
Que peut-on en déduire pour la fonction $f$ ?
Que peut-on en déduire pour la courbe (C) ?

3. Démontrer que, pour tout x de ]0 ; + $\infty$ [, on a :
$f'(x) = \dfrac{1-x}{x^{4}} e^{-\frac{1}{x}}$ .

4. Étudier les variations de la fonction $f$ et dresser le tableau des variations de $f$ .

Partie 2

On note $g$ la fonction définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par $g(x) = f(x) - x f'(x)$ .

1. Montrer que, dans ]0 ; + $\infty$ [, les équations $g(x) = 0$ et $x^3 + x^3 + 2x - 1 = 0$ sont équivalentes.

2. Démontrer que l'équation $x^3 + x^3 + 2x - 1 = 0$ admet une seule racine réelle $\alpha$ dont on justifiera un encadrement à 10^-2 près.

3. On pose A = $\dfrac{f(\alpha)}{\alpha}$ . Encadrer A à 2×10^-1 près (justifier) et montrer que A = $f'(\alpha)$ .

4. Pour tout a > 0, on note ( $T_a$ ) la tangente à (C) au point d'abscisse a. Montrer que ( $T_{\alpha}$ ) a pour équation $y = \text{A}x$ . Tracer ( $T_{\alpha}$ ), puis la courbe (C).

5. Déduire des questions précédentes que de toutes les tangentes ( $T_a$ ) à (C) (en des points d'abscisses non nulles), seule ( $T_{\alpha}$ ) passe par l'origine O.

Partie 3

1. Pour $n \in \mathbb{N}*$ , on pose u_n = $\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{1}f(x)\text{ d}x$ .
Sans calculer explicitement $u_n$ , déterminer le signe de $u_{n+1} - u_n$ .
En déduire que la suite ( $u_n$ ) est croissante.

2. Démontrer que la fonction $h$ , définie sur ]0 ; + $\infty$ [ par : $h(x) = (x + 1) e^{-\frac{1}{x}}$ , est primitive de $f$ sur ]0; + $\infty$ [.

3. Calculer $u_n$ . Interpréter graphiquement le résultat.

4. Étudier la convergence de la suite ( $u_n$ ).

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