Fiche de mathématiques

Sujet de Bac

Partie I

On considère la fonction numérique $f$ de la variable réelle $x$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = e^x - x - 1.$
On note $\matchscr{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O\, , \, \vec{i} , \vec{j}).$ Unité graphique 1 cm.
1. Calculer $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$

2. a) Vérifier que $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = e^x \left(1 - \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x} \right)$ .
b) En déduire $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x).$

3. Calculer $f'(x)$ et établir le tableau des variations de $f.$

4. a) Montrer que la droite $\matchscr{D}$ d'équation $y = -x - 1$ est asymptote à $\matchscr{C}$ lorsque $x$ tend vers moins l'infini.
b) Etudier la position de $\matchscr{C}$ par rapport à $\matchscr{D}.$

5. Déterminer une équation de la tangente $\matchscr{D'}$ à $\matchscr{C}$ au point d'abscisse -1.

6. Construire $\matchscr{C}$ et $\matchscr{D}.$

7. Calculer en cm² l'aire du domaine limité par $\matchscr{D},$ la courbe $\matchscr{C}$ et les droites d'équation $x = -1$ et $x = 0.$

Partie II

Pour tout entier $n$ appartenant à $\mathbb{N}$ , on désigne par $E_n$ le domaine limité par la droite $\matchscr{D},$ la courbe $\matchscr{C}$ et les droites d'équation : $x = -n -1$ et $x = -n.$

1. Calculer en cm² l'aire $A_n$ du domaine $E_n.$
Montrer que la suite des réels $A_n$ est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme $A_0$ et la raison.

2. Calculer $S_n = A_0 + A_1 + A_2 + \cdots + A_n.$
En déduire : $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} S_n.$

Partie III

1. Montrer qu'en tout point M d'abscisse a de la courbe $\matchscr{C}$ il existe une tangente à $\matchscr{C}$ dont on établira une équation en fonction de a.

2. Cette tangente rencontre l'asymptote $\matchscr{D}$ en un point N. On désigne par M' et N' les projections orthogonales de M et N sur l'axe des abscisses.
    a) Montrer que M'N' est un nombre constant.
    b) En déduire une construction simple de la tangente en M.
    c) Construire la tangente D' définie dans la partie I.5.

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Merci à H_aldnoer pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche

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