Partie I
On considère la fonction numérique

de la variable réelle

définie sur

par :
On note

sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal
.)
Unité graphique 1 cm.
1. Calculer
2. a) Vérifier que
)
peut s'écrire
 = e^x \left(1 - \dfrac{x}{e^x} - \dfrac{1}{e^x} \right))
.
b) En déduire
3. Calculer
)
et établir le tableau des variations de
4. a) Montrer que la droite

d'équation

est asymptote à

lorsque

tend vers moins l'infini.
b) Etudier la position de

par rapport à
5. Déterminer une équation de la tangente

à

au point d'abscisse -1.
6. Construire

et
7. Calculer en cm² l'aire du domaine limité par

la courbe

et les droites d'équation

et
Partie II
Pour tout entier

appartenant à

, on désigne par

le domaine limité par la droite

la courbe

et les droites d'équation :

et
1. Calculer en cm² l'aire

du domaine
Montrer que la suite des réels

est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme

et la raison.
2. Calculer
En déduire :
Partie III
1. Montrer qu'en tout point M d'abscisse a de la courbe

il existe une tangente à

dont on établira une équation en fonction de a.
2. Cette tangente rencontre l'asymptote

en un point N. On désigne par M' et N' les projections orthogonales de M et N sur l'axe des abscisses.
a) Montrer que M'N' est un nombre constant.
b) En déduire une construction simple de la tangente en M.
c) Construire la tangente D' définie dans la partie
I.5.
Merci à
H_aldnoer H_aldnoer pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche
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