Fiche de physique

Action mecanique transmissible par une liaison

contribution réalisée par Ludovic WAGNER

Liaison parfaite

définition: une liaison parfaite est une liaison tel que:

Les possibilités de mouvement relatif sont obtenus à partir de surface de contacts géométriquement parfaite qui ont entres elles un jeu de fonctionnement suposé nul
le contact de ces surfaces est suposé sans adhérence

une liaison parfaite est donc une liaison théorique
A chaque mobilité correspond une composante nulle du torseur de liaison.
A chaque non-mobilité correspond une composante du torseur de liasion.

$\left( \begin{array}{cc} T_x&R_x \\ T_y&R_y \\ T_z&R_Z \end{array}\right) \Longrightarrow \Big[T_{1\to 2} \Big]= \left \lbrace \begin{array}{cc}X_A&L_A \\ Y_A&M_A \\ Z_A&N_A\end{array} \right \rbrace _A$
$\\\Big[T_{1\to 2} \Big]_A = \left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c}\overrightarrow{A_{1\to 2}} & \sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}} \\ \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}} & \sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}}) \end{array} \right \rbrace _A \\ \end{array}$

Actions mutuelles

$\overrightarrow{F_{1\to 2}}=-\overrightarrow{F_{2\to 1}}$
$\Big[T_{1\to 2} \Big]_A= \lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{1\to 2}}=\sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}} \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}}=\sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}})\end{array}\rbrace _A$
$\Big[T_{1\to 2}\Big]_A= \lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{1\to 2}}=\sum \overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}}=-\sum \overrightarrow{F_{i^{2\to 1}}}=-\overrightarrow{A_{2 \to 1}} \overrightarrow{\text{M}^{1\to 2}_{A}}=\sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge\overrightarrow{F_{i^{1\to 2}}})=-\overrightarrow{\text{M}^{2\to 1}_{A}}\end{array}\rbrace _A$
D'où $\boxed{\Big[T_{1\to 2} \Big]=-\Big[T_{2\to 1}\Big]}$

Liaison mécanique parfaite

Exemple: Linéique annulaire d'axe $x$

$\left( \begin{array}{cc} T_x & R_x\\ 0 & R_y\\ 0 & R_z \end{array} \right) \Longrightarrow \left \lbrace \begin{array}{cc} 0 & 0\\ Y & 0\\ Z & 0\\ \end{array} \right \rbrace$

Cas particulier: l'Hélicoïdale

Action mecanique transmissible par une liaison : image 1

Exemple: hélicoïdale d'axe $x$

$\left( \begin{array}{cc} T_x & R_x\\ 0 & 0\\ 0 & 0 \end{array} \right) \hspace{0.1cm}\text{avec}\hspace{0.2cm}T_x=R_x \frac{p}{2\pi} \hspace{0.1cm}\longleftarrow R_x \hspace{0.2cm}\text{en radians}\\ \\ \Longrightarrow \left \lbrace \begin{array}{cc} X & L\\ Y & M\\ Z & N \end{array} \right \rbrace \hspace{0.1cm}\text{avec \underline{5 inconnus}}$

Contacts réels entre solides

Si l'effort s'éxerce en un point, la pression de contact devient infinie ce qui est impossible, il éxiste donc une surface finie de contact (écrasement), $d\overrightarrow{f}$ est la force de contact de $1\to 2$ s'appliquant sur un élément de surface $dS$ .

Contact réel entres solides

Force élementaire de contacts

Action mecanique transmissible par une liaison : image 2

Densité de force

définition: la densité de force de contact de $1\to 2$ au point $p$ est la limite du rapport $\frac{d\overrightarrow{f}}{dS}$ quand $dS$ tend vers $0$ .
D'où $\overrightarrow{\delta}=\frac{d\overrightarrow{f}}{dS}$ avec $df$ en N, $dS$ en mm et $\delta$ en MPa.
$\overrightarrow{\delta}$ est un bipoint, projection ce vecteur, densité $\overrightarrow{\delta}$ sur le plan $p$ et la normale $\overrightarrow{n}$ à ce plan.

Action mecanique transmissible par une liaison : image 3

$\delta_n$ est appelé densité normale en $p$
$\delta_n$ est appelé densité tangentielle de $\overrightarrow{n}$ en $p$
$||\overrightarrow{\delta}||$ est appelé pression locale de contact $p$

Loi de Coulomb

Soit deux solides en contacts.
Définition:

il y a adhérence en $p$ si il n'y a pas de mouvement relatif entre $1$ et $2$ au point $p$ .
D'où $\overrightarrow{V_{p 1\to 2}}=\overrightarrow{0}$
il a frottements en $p$ si il y a mouvement relatif entre $1$ et $2$ au point $p$ .
D'où $\overrightarrow{V_{p 1\to 2}}\neq \overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{V_{p 1\to 2}}$ est appelé vecteur vitesse de glissement au point $p$ .

Premier cas: $\overrightarrow{V_{p 1\to 2}}\neq \overrightarrow{0}$
Il y a glissement relatif de $2/1$ en $p$ .

Le support de la force élementaire de la force de contact $(p,d\overrightarrow{F_1}_{\to 2})\in (p,\overrightarrow{n}, \overrightarrow{V_p}_{2/1})$ ,se support est incliné d'un angle $\varphi$ par rapport à la normale du côté opposé à $V$ , on a $\boxed{d\overrightarrow{F_1}_{\to 2} . \overrightarrow{V_1}_{\to 2}<0}$

L'angle $\varphi$ caractérise la nature du contact en $p$ des solides 1 et 2, il ne dépend que de la nature des matériaux et de l'état des deux surfaces en contact.

Définition: $f=\tan \varphi$ est appelé coefficient de frottement.

Exemples:

acier sur acier poli à sec $f=0.10$
fonte sur fonte au bronze à sec $f=0.16$
acier ou fonte sur bronze ou fonte lubrifiée $f=0.07$
acier ou fonte sur garniture de frictions à sec (Ferodo) $f=0.45$
pneu neuf sur chaussée sêche $f=0.60$
pneu neuf sur chaussée mouillée $f=0.35$

Conséquence des lois de Coulombs

Quand deux solides glissent l'un sur l'autre, le support de la force de contact $\overrightarrow{F_i1\to 2}$ en $P_i$ se trouve sur la surface d'un cône de sommet $P_i$ d'axe $P_i\overrightarrow{n}$ et de demi angle au sommet $\varphi$ tel que $\tan\varphi=f$ , se cône est apppelé cône de frottements en $P_i$ , l'angle $\varphi$ est appelé anle de frottement.

Projection

Action mecanique transmissible par une liaison : image 4

Soit $\overrightarrow{T}$ la projection de $\overrightarrow{F}$ dans le plan tangent commun
et $\overrightarrow{N}$ la projection de $\overrightarrow{F}$ sur la normale $p\overrightarrow{n}$ , on a
$\boxed{||\overrightarrow{T}||=||\overrightarrow{N}||.f}$

Deuxième cas: $\blue \overrightarrow{V_p2/1}$

Il y a adhérence de $2$ sur $1$ en $p$ . Le support de la force de contact $\overrightarrow{F_p2/1}$ fait avec l'axe $p\overrightarrow{n}$ un angle $\theta$ inconnu tel que $\boxed{\theta<\varphi}$ . On sait seulement que le support de la force se trouve l'intérieur du cône de frottement.

Action mecanique transmissible par une liaison : image 5

Action mecanique transmissible par une liaison : image 5

Cas particulier important

Pour résoudre un problème, on se place habituellement dans le cas limite appelé équilibre strict pour lequel il y a équilibre limite ou tendance au mouvement, alors $\theta=\varphi$ . Donc si $\overrightarrow{V_p2/1}=\overrightarrow{0}$ , deux cas possibles.

équilibre
équilibre strict

soit $\boxed{||\overrightarrow{T}||\leq||\overrightarrow{N}||.f}$ .

Exemple

Action mecanique transmissible par une liaison : image 6

AB=6 cm
AM=d
en A et B $f=0.1$
$\alpha$ ={30°;50°;70°}
$\overrightarrow{||M||}$ =800 N

Calcul de la distance $\blue AM$ maximale pour $\blue \alpha=\lbrace 30^o;50^o;70^o\rbrace$

Expressions analytiques

$\begin{array}{l|l}\overrightarrow{AB}&-6\cos(\alpha)\\ &6\sin(\alpha)\\&o\end{array}$

$\begin{array}{l|l}\overrightarrow{AM}&-d\cos(\alpha)\\ &d\sin(\alpha)\\&o\end{array}$

Torseur

$\Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{A_{s\to e}}&-A\sin\varphi\\\;}&A\cos\varphi\\\; }&0\end{array} \hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}_A^{s\to e}}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array} \right\rbrace _B$
$\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_B &=& \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{B_{m\to e}}&B\cos\varphi\\\; }&B\sin\varphi\\\; }&0\end{array} \hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_B}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array} \right\rbrace _B$
$\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_M &=& \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{M}_{o\to e}}&0\\\; }&-800\\\; }&0\end{array} \hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_M}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array} \right\rbrace _M$

Changement de points

$\Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{A_{s\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{s\to e}_A}=\overrightarrow{0}\end{array}\right\rbrace _A$
$\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{B_{m\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_A}=\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_B}+ \overrightarrow{AB}\wedge\overrightarrow{B_{m\to e}}\end{array}\right\rbrace _A\\$
$\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l}\overrightarrow{M_{o\to e}}\\\\\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_A}=\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_M}+ \overrightarrow{AM}\wedge \overrightarrow{M_{o\to e}}\end{array}\right\rbrace _A$

$\Big[T_{\text{sol}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{A_{s\to e}}&-A\sin\varphi\\\;}&A\cos\varphi\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}_A^{s\to e}}&0\\\; }&0\\\; }&0\end{array}\right\rbrace _A$
$\Big[T_{\text{mur}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{B_{m\to e}}&B\cos\varphi\\\; }&B\sin\varphi\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{m\to e}_A}&0\\\; }&0\\\; }&-6B\sin(\alpha+\varphi)\end{array}\right\rbrace _A$
$\Big[T_{\text{ouvrier}\to \text{echelle}}\Big]_A = \left\lbrace \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{M}_{o\to e}}&0\\\; }&-800\\\; }&0\end{array}\hspace{0.2cm} \begin{array}{l|l}\overrightarrow{\text{m}^{o\to e}_A}&0\\\; }&0\\\; }&800d\cos(\alpha)\end{array}\right\rbrace _A$

On a $\displaystyle (S)\left \lbrace \begin{array}{c @{ } c} -A\sin(\varphi)+B\cos(\varphi) = 0 & (L_1) \\ A\cos(\varphi)+B\sin(\varphi)-800 = 0 & (L_2) \\ -6B\sin(\alpha+\varphi)+800s\cos(\alpha)=0 & (L_3) \end{array} \right.$

$B=A\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\varphi)}\hspace{0.5cm}(L_1)$
$A\frac{\cos^2(\varphi)}{\cos(\varphi)}+A\frac{\sin^2(\varphi)}{\cos(\varphi)}-800=0\hspace{0.5cm}(L_2)$
$\frac{A}{\cos(\varphi)}=800\quad\Longrightarrow\quad A=800\cos(\varphi)$

$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} A & 800\cos(\varphi) \\ B & 800\sin(\varphi)\end{array}\right.$

$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} 800d\cos(\alpha)&6\times 800\sin(\varphi)\sin(\alpha+\varphi) \\d&6\times\frac{\sin(\varphi)}{\cos(\alpha)}\sin(\alpha+\varphi) \end{array} \right.$

On trouve $\begin{array}{l|c}\alpha&d\\\hline 30^o&0.424\\50^o&0.767\\70^o&1.692\end{array}$

Torseur d'action mécanique réel

Dans une liaison réelle, étant donné qu'il peut y avoir un mouvement relatif, il existe un jeu fonctionnel. Les surfaces en contacts se sont jamais parfaites et on ne peut pas toujours négliger les frottements.

Exemple : liaison appui plan réelle d'axe $\overrightarrow{x}$

Action mecanique transmissible par une liaison : image 8

$(A;\overrightarrow{x}):$ normale au plan de contact
$(A;\overrightarrow{x};\overrightarrow{z}):$ plan de symétrie de la force appliquée

La force élementaire de contact en $p$ est inclinée par rapport à la normale $p\overrightarrow{n}$ de l'angle $\varphi$ en sens contraire de $\overrightarrow{V_P2/1}$ . Le torseur de liaison $\left[T_{1\to 2}\right]_A$ se définit par
$\left \lbrace \begin{array}{c @{ = } c} \overrightarrow{A_{1\to 2}} & \sum \overrightarrow{dF_i1\to 2} \\ \overrightarrow{\text{m}^{1\to2}_A} & \sum(\overrightarrow{AP_i}\wedge d\overrightarrow{F_i1\to 2}) \end{array} \right \rbrace _A$
la résultante $\overrightarrow{A_{1\to 2}}$ de toutes les forces élementaires de contacts $d\overrightarrow{F_i1\to 2}$ fait aussi un angle $\varphi$ par rapport à la normale donc, $\overrightarrow{A_{1\to 2}}=X\overrightarrow{x}+Z\overrightarrow{z}$ .
Le moment $\overrightarrow{\text{m}^{1\to2}_A}$ est porté par l'axe $O\overrightarrow{y}$ donc, de la forme $\overrightarrow{\text{m}^{1\to2}_A}=M\overrightarrow{y}$ .
$\left[T_{1\to 2}\right]_A=\left\lbrace \begin{array}{ll}X&0\\0&M\\Z&0\end{array}\right\rbrace _A$

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