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accroissements
Bonjour
Je souhaiterais confirmer la solution suivante venant d'un exercice corrigé
1 énoncé : Soit f une fonction continue sur R+ , dérivable sur R+* et telle que
f(0)=0. Montrer que :
si f' est croissante, alors g: x-> f(x)/x est croissante
2 solution :g'(x)= (xf'(x)-f(x))/x2 et xf'(x)-f(x)
0:accroissements finis.
3 difficulté : l'inégalité des accroissements finis suppose que f' soit bornée
la solution proposée est-elle correcte?
Bonjour,
Attention au version du théoreme des accroissements finis. Il faut bien l'utiliser mais plus comme ceci :
Rappelons le premier théorème des accroissements finis:
Soit f une fonction continue sur [a,b], a<b, et dérivable sur ]a,b[, alors il existe un c dans ]a,b[ tel que f(b)-f(a)=f'(c)(b-a).
Si de plus f' est borné par k sur [a,b] on a une inégalité f(b)-f(a)<k(b-a).
Maintenant, tu as ta fonction qui est continue sur
et dérivable sur
.
Tu peux appliquer le TAF à f sur [0,x] pour tout x>0.
Une fois fait, à l'aide de la croissance de f' sur [0,x], tu peux en déduire l'inégalité que tu cherches.
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