Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice:
Soit la forme quadratique sur R^3: q(x,y,z)= (x²+y²+z²)-2xy+2xz+2yz
1) Réduire cette forme quadratique.
2) Donner f la forme bilinéaire associée. Est-ce qu'elle définit un produit scalaire?
3) Existe-t-il une base orthogonale pour f? orthonormée pour f? (Si oui, en donner une).
Je suis déjà bloquer pour la 1ère question je n'arrive pas réduire la forme quadratique, voici ce que j'ai fais pour l'instant:
q(x,y,z)= (x²+y²+z²)-2xy+2xz+2yz= (x-y)²+z²+2xz+2yz=(x-y)²+(x+z)²-x²+2yz et là je bloque
ok je ne connaissais pas cette formule, par contre ça me donne ) c'est normal?
du coup j'ai un seul carré
Non.
Je trouve q1(X) = (x - y + z)²
Et, q(X) - q1(X) = 4yz
Or, 4yz = (y + z)² - (y - z)²
Finalement, q(X) = (x - y + z)² + (y + z)² - (y - z)²
D'accord merci, j'avais fais une erreur de calcul
pour f je trouve
x1y1+x2y2+x3y3-x1y2-y1x2+x1y3+x3y1+x2y3+y2x3
et on a pas de produit scamaire, car la signature est (2,1)
Par contre je ne sais pas faire la question 3
Ce n'est pas un produit scalaire. Mais toute F.B.S possède une base orthogonale.
Tu as dû voir en cours que la décomposition en carrés te donne ici trois formes linéaires indépendantes qui forment une matrice :
En cherchant Q-1 tu auras une base orthogonale.
Désolé j'avais fais des erreurs de calculs, j'ai bien ça merci
ensuite pour la base orthonormée je ne sais pas ce que je dois faire.
Exactement.
Appelons u, v, w les trois vecteurs orthogonaux découverts.
En les écrivant en ligne u(1,0,0) ; v(0,1/2,1/2) ; w(0,1/2,-1/2)
Si q est la forme quadratique de ton énoncé, calcule successivement q(u), q(v) et q(w).
q(u) = 1, q(v) = 1, q(w) = -1.
C'est logique : ce sont, par définition, les éléments diagonaux de la réduite.
Comme q n'est pas issue d'un produit scalaire, tu ne peux pas avoir de base orthonormale.
En effet, la valeur de q(w) = -1 n'autorise pas la construction.
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