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Niveau Licence Maths 1e ann
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algèbre

Posté par
grenouillette
29-03-09 à 12:18

Bonjour je n'arrive pas à faire cet exercice:

Soit la forme quadratique sur R^3: q(x,y,z)= (x²+y²+z²)-2xy+2xz+2yz

1) Réduire cette forme quadratique.
2) Donner f la forme bilinéaire associée. Est-ce qu'elle définit un produit scalaire?
3) Existe-t-il une base orthogonale pour f? orthonormée pour f? (Si oui, en donner une).

Je suis déjà bloquer pour la 1ère question je n'arrive pas réduire la forme quadratique, voici ce que j'ai fais pour l'instant:

q(x,y,z)= (x²+y²+z²)-2xy+2xz+2yz= (x-y)²+z²+2xz+2yz=(x-y)²+(x+z)²-x²+2yz et là je bloque

Posté par
raymond Correcteur
re : algèbre 29-03-09 à 12:27

Bonjour.

connais-tu la méthode de Gauss ?

Posté par
grenouillette
re : algèbre 29-03-09 à 12:33

oui c'est ce que j'essayais d'utiliser mais je n'y arrive pas du tout

Posté par
raymond Correcteur
re : algèbre 29-03-09 à 12:42

Calcule :

3$\textrm q_1(x) = (\fra{1}{2}\times\fra{\partial q}{\partial x})^2

Ensuite, effectue la différence : q(x) - q1(x)

Posté par
grenouillette
re : algèbre 29-03-09 à 13:02

ok je ne connaissais pas cette formule, par contre ça me donne q(x)=q_1(x) c'est normal?
du coup j'ai un seul carré

Posté par
raymond Correcteur
re : algèbre 29-03-09 à 13:36

Non.

Je trouve q1(X) = (x - y + z)²

Et, q(X) - q1(X) = 4yz

Or, 4yz = (y + z)² - (y - z)²

Finalement, q(X) = (x - y + z)² + (y + z)² - (y - z)²

Posté par
grenouillette
re : algèbre 29-03-09 à 13:41

D'accord merci, j'avais fais une erreur de calcul

pour f je trouve

x1y1+x2y2+x3y3-x1y2-y1x2+x1y3+x3y1+x2y3+y2x3

et on a pas de produit scamaire, car la signature est (2,1)

Par contre je ne sais pas faire la question 3

Posté par
raymond Correcteur
re : algèbre 29-03-09 à 13:47

Ce n'est pas un produit scalaire. Mais toute F.B.S possède une base orthogonale.

Tu as dû voir en cours que la décomposition en carrés te donne ici trois formes linéaires indépendantes qui forment une matrice :

Q=\begin{pmatrix}1&-1&1\\0&1&1\\0&1&-1\end{pmatrix}

En cherchant Q-1 tu auras une base orthogonale.

Posté par
grenouillette
re : algèbre 29-03-09 à 13:57

Je pensais que cette matrice c'était Q^{-1}
c'est pas correcte?

Posté par
raymond Correcteur
re : algèbre 29-03-09 à 17:46

Alors, tu cherches Q.

Je trouve :

3$\textrm\begin{pmatrix}1&0&1\\0&\fra{1}{2}&\fra{1}{2}\\0&\fra{1}{2}&-\fra{1}{2}\end{pmatrix}

Posté par
grenouillette
re : algèbre 29-03-09 à 19:24

J'ai calculer tQMQ mais je ne trouve pas une matrice diagonal est-ce normal?

Posté par
raymond Correcteur
re : algèbre 29-03-09 à 19:56

2$\textrm M = \begin{pmatrix}1&-1&1\\-1&1&1\\1&1&1\end{pmatrix}

2$\textrm Q = \begin{pmatrix}1&0&1\\0&\fra{1}{2}&\fra{1}{2}\\0&\fra{1}{2}&-\fra{1}{2}\end{pmatrix}

Alors :

2$\textrm ^tQ.M.Q = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{pmatrix}

Posté par
grenouillette
re : algèbre 29-03-09 à 20:09

Désolé j'avais fais des erreurs de calculs, j'ai bien ça merci
ensuite pour la base orthonormée je ne sais pas ce que je dois faire.

Posté par
raymond Correcteur
re : algèbre 29-03-09 à 20:11

Ta base est orthogonale.

Que faut-il faire pour la rendre orthonormale ?

Posté par
grenouillette
re : algèbre 29-03-09 à 20:19

Je ne sais pas trop, faut prendre la norme?

Posté par
raymond Correcteur
re : algèbre 29-03-09 à 20:22

Exactement.

Appelons u, v, w les trois vecteurs orthogonaux découverts.

En les écrivant en ligne u(1,0,0) ; v(0,1/2,1/2) ; w(0,1/2,-1/2)

Si q est la forme quadratique de ton énoncé, calcule successivement q(u), q(v) et q(w).

Posté par
raymond Correcteur
re : algèbre 29-03-09 à 20:24

Erreur sur w : w(1,1/2,-1/2)

Posté par
grenouillette
re : algèbre 29-03-09 à 20:26

q(u)=1, q(v)=3/2 et q(w)=-1/2
est-ce que c'est correcte?

Posté par
raymond Correcteur
re : algèbre 29-03-09 à 20:32

q(u) = 1, q(v) = 1, q(w) = -1.

C'est logique : ce sont, par définition, les éléments diagonaux de la réduite.

Comme q n'est pas issue d'un produit scalaire, tu ne peux pas avoir de base orthonormale.

En effet, la valeur de q(w) = -1 n'autorise pas la construction.

Posté par
grenouillette
re : algèbre 29-03-09 à 20:37

D'accord merci beaucoup

Posté par
raymond Correcteur
re : algèbre 29-03-09 à 20:45

Bonne soirée. RR.



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