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Algèbre bilinéeaire et extrema

Posté par
solaris 08-03-09 à 12:36

Bonjour, je bloque un peu sur un exercice, y a-t-il une âme charitable qui aurait une petite idée ?

Merci.

Soit A une matrice réelle d'ordre n.
TOut élément x de Rn sera confondu avec la matrice de Mn,1(R) canoniquement associée. L'espace Rn est muni de son produit scalaire canonique. On pose S={xRn| ||x||=1 }
Pour x non nul on pose \phi(x) =\ \frac{^t x.A.x}{||x||\

J'ai montré qu'il existe x0S tel que \phi(x_{0}) =\ \max_{x\epsilon{S}}\phi(x)\, puis que si D est une droite de Rn, alors est constate sur D\{0}.

Il faut que j'en déduise que \phi(x_{0}) =\ \max_{x\epsilon\mathbb{R}^n -{\{0}\}}\ \phi(x)\, puis justifier l'existence du gradient de (x)0   et enfin montrer que

le gradient de (x) vaut \frac{1}{||x||^2}\ .(A+^t A)x -\frac{2 ^txAx}{||x||^4}\

Posté par
perroquetre : Algèbre bilinéeaire et extrema 08-03-09 à 14:51

Bonjour, solaris

Il y a une petite erreur dans ton expression; en fait   3$ \varphi(x)=\frac{ ^txAx}{||x||^2}

Je pense que, ce qui te pose problème dans la deuxième question, c'est l'existence et le calcul du gradient de \varphi

L'existence du gradient vient du fait que \varphi est de classe C^1.

Pour le calcul, que je ne détaille pas:

3$ \varphi(x+h)=\frac{^t(x+h)A(x+h)}{||x+h||^2}= \varphi(x) + \frac{^thAx\, +\, ^txAh}{||x||^2} - 2\, ^txAx\, \frac{(h|x)}{||x||^4} +o(||h||)

On en déduit le calcul du gradient (là aussi, il y avait une petite erreur dans ton expression):

3$ {\rm grad}(\varphi)(x)= \frac{ (A\, +\, ^tA)x}{||x||^2} -2\, \frac{^txAx}{||x||^4}\, x

Posté par
solarisre : Algèbre bilinéeaire et extrema 08-03-09 à 15:37

Merci beaucoup!!! Excusez-moi pour les erreurs, mais c'était la première fois que j'utilisais Latex et je n'en ai pas encore compris toutes les arcanes (loin de là...) (est-ce qu'il y aurait un programme pour écrire plus vite en Latex, parce que je trouve ça assez long et pas évident (mais très propre) ? )


J'aurais juste une question : j'ai montré que si D est une droite de Rn, alors   est constante sur D\{0}, mais je ne vois pas du tout le rapport entre ça et la déduction qu'il faut faire à partir de là,à savoir
\phi(x_{0}) =\ \max_{x\epsilon\mathbb{R}^n -{\{0}\}}\ \phi(x)\

Posté par
perroquetre : Algèbre bilinéeaire et extrema 08-03-09 à 17:47

Une indication pour la question:
3$\forall x \in{\mathbb R}^n \setminus\{0\} \ \ \varphi(x)=\varphi\left(\frac{x}{||x||}\right)\leq \varphi(x_0)

En ce qui concerne Latex:
il existe des programmes pour écrire en Tex
taper sous google (ou autre moteur de recherche):  tex ctan
Les réponses permettront d'accéder à un site qui distribue ces programmes.

Posté par
solarisre : Algèbre bilinéeaire et extrema 08-03-09 à 18:37

Merci.

On a bien 3$\forall x \in{{S}} \ \ \varphi(x)=\varphi\left(\frac{x}{||x||}\right)\leq \varphi(x_0).

Mais je n'arrive pas à voir pourquoi savoir que est constante pour tout x appartenant à D-{0}, implique que

3$\forall x \in{\mathbb R}^n \setminus\{0\} \ \ \varphi(x)\leq \varphi(x_0)

Posté par
perroquetre : Algèbre bilinéeaire et extrema 08-03-09 à 23:14

L'égalité  3$ \varphi(x)=\varphi\left(\frac{x}{||x||}\right)  est valable non seulement pour tout x de S, mais aussi pour tout x de \mathbb{R}^n\setminus\{ 0\}
En effet:
3$ \varphi\left(\frac{x}{||x||}\right)=\frac{\frac{^tx}{||x||}A\frac{x}{||x||}}{\left|\left|\frac{x}{||x||}\right|\right|^2}= \frac{^txAx}{||x||^2}=\varphi(x)


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