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algebre et projecteur
Bonsoir, j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un exercice
dim(E)=n, p projecteur de E et f endomorphisme de E
montrer (pof=fop <=> Ker(p) et Im(p)stables pas f
pour le noyau pas de probleme mais pour l'image je n'arrive pas a utiliser le fait que p soit un projecteur
soit f dans L(E) verifiant
f(x) dans Ker(p) =>x dans ker(p) et f(x) dans Im(p) =>x dans Im(p)
Montrer que Ker(f) C Ker(p)
montrer Ker(f) C Im(p)
montrer pof=fop
merci
Bonsoir JudithL
Un rappel d'abord: si y est dans Im p, on a: p(y)=y
On suppose donc que ker p et Im p sont stables par f.
Pour tout vecteur x de E, on peut l'écrire sous la forme x=y+z, avec y dans ker p et z dans Im p. On a:
f o p(x)= f(z)
p o f(x) = p o f(y) + p o f(z)
Comme ker p est stable par f, f(y) appartient à ker p et p o f(y)=0
Comme Im p est stable par f, f(z) appartient à Im p et p o f(z)=fz)
On a donc: f o p(x) = f(z) = p o f(x)
Donc, f et p commutent.
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