Bonjour à tous,
Je vous poste un devoir d'algèbre sur lequel j'ai des difficultés.
Je vous poste également les pistes ou les réponses que je suis entrain d'explorer.

1)
a) Montrer que tr(A) est aussi égale à la somme des valeurs propres de A. En déduire que pour toute matrice d'ordre n inversible P, les traces de A et de P^-1AP (A et P^-1AP sont semblables).


b) Soient A et B deux matrices carrées de même ordre n, B étant inversible. Montrer que :               tr(AB)=tr(BA)


c) Montrer que la relation précédente est encore vraie lorsque B n'est plus inversible.



2)
Une relation célèbre de la mécanique quantique est la relation d'incertitude de Heïsenberg :
  pq-qp = iħI
où p et q sont les opérateurs impulsion et position, I est l'identité (ceci se passe dans un espace vectoriel de dimension infinie et donc ces trois opérateurs sont des analogues des matrices en dimension infinie) et ħ = h/2П où h = 6.6260693.10-34 Js (Joules secondes) est la constante de Planck. C'est cette relation qui limite les précisions des mesures simultanées de la position et de la vitesse d'une particule.

Montrer que pour deux matrices carrées réelles ou complexes d'ordre n P et Q, il n'est pas possible d'avoir une relation de la forme :
PQ - QP = kI
Où k est une constante non nulle, si bien qu'en dimension finie, on rencontre de nouveaux phénomènes.


Réponses et pistes:

1)
a)
posons p(λ) = det (A- λI_n) comme étant le plonôme caractéristique de A.
( avec λ valeur propre de A et I_n la matrice identité d'ordre n).

piste: avec la déinition du déterminant
Merci