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Niveau école ingénieur
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algèbre linéaire

Posté par
mb89ma
29-05-09 à 21:34

Bonjour à tous, j'aimerai que l'on m'éclaircit sur cet exercice.

Soit E=\mathbb{R}\tiny_3 espace de polynômes de degré inférieur ou égale à 3. On considère l'application suivante de E dans lui-même:

\Phi(p(x))= \frac{dp(x)}{dx}-p(x), \hspace{15} p(x) \in E

1) Démontrer que \Phi est une application linéaire de E dans lui-même.
2) Trouver le polynôme caractéristique de \Phi.
3) Trouver les valeurs propres de \Phi.
4) Trouver les sous-espaces propres de \Phi en donnant une base de chaque sous-espace.
5) Est-ce que \Phi est diagonalisable ? Justifier la réponse.
6) Est-ce que \Phi est inversible?
7) Trouver le polynôme minimal de \Phi.

Merci à ceux qui pourront m'aider, m'indiquer des pistes.

Posté par
gui_tou
re : algèbre linéaire 29-05-09 à 21:36

Salut mb89,

Pour simplifier les choses, écris la matrice de 3$\Phi (de taille 4x4 car dim(E)=4)

Posté par
mb89ma
re : algèbre linéaire 29-05-09 à 22:40

la matrice de \Phi est je crois :
1 x x² x^3
0 1 x  x²
0 0 1  x
0 0 0  1

Posté par
gui_tou
re : algèbre linéaire 29-05-09 à 22:41

Nan nan, dans une matrice on ne met pas de x² mais des nombres

Une base de E est par exemple (1,X,X²,X^3) ..



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