Bonjour à tous,
Je fais appel aux services de ce forum car j'ai de gros soucis pour finir mon DM d'algèbre pour la semaine prochaine.. J'ai déjà pas mal bossé dessus mais l'énoncé est tellement peu en rapport avec le cours que je ne pourrai pas m'en sortir seul.. Voici une partie de l'énoncé et les problèmes que je rencontre:
Soit [a;b] un intervalle de et on note C[a;b] le -espace vectoriel des fonctions continues sur [a;b] à valeurs réelles.
Soit N dans * et N+1 réels a0, ... , aN vérifiant:
a=a0< a1< .. < aN = b.
(subdivision de [a;b] en N intervalles [ai;ai+1]).
Soit E le sous-ensemble de C([a;b]) formé des fonctions définies sur [a;b] dont les restrictions à chacun des intervalles [ai;ai+1] sont affines.
Voilà maintenant les questions qui me posent problème:
1)On donne N+1 réels 0,...,N. Montrer qu'il existe une unique fonction f de E vérifiant
pour tout i de {0,...,N}, f(ai)=i.
-> C'est évident à voir car f est une fonction affine "par morceaux", donc il n'en existe qu'une pour relier les entre eux. Seulement comment démontrer mathématiquement l'existence et l'unicité? J'ai essayé en introduisant une autre fonction g identique et en voulant montrer que f-g est nulle mais sans résultat..
2) Montrer que E est un espace vectoriel réel.
->Il faut partir de la définition ( (E,+) est un groupe commutatif, etc..) ou il y a plus court selon vous?
3)Pour tout i de {0,...N} on pose i l'unique fonction de E vérifiant i(ai)=1 et i(aj)=0 si ij.
Montrer que B={0,...,N} est une base de E.
-> Serait-ce la base canonique ou suis-je complètement hors-sujet pour l'interprétation de la fonction ?
4) Soit fE, exprimer f dans B.
-> Pour cela, j'ai besoin de votre avis sur la fonction ..
Voilà, pour le reste je vais essayer de me débrouiller tout seul, mais je vous serai déjà extrêmement reconnaissant de m'aider pour cela car je n'ai jamais eu autant de mal sur un DM..
Merci d'avance à tous ceux qui répondront!
A+
Bonjour
Pour 1): Si tu veux une jolie rédaction, fais-le par récurrence sur N.
2) Oui, il y a plus court: il suffit de vérifier que c'est un sous-espace vextoriel de l'espace vectoriel C([a;b]), donc de dire que la fonction nulle y est et que c'est stable par combinaison linéaire, ce qui est purement formel.
3) Dans ce cadre, "base canonique" ne veut pas dire grand chose. Je ne sais pas ce que tu appelles .
Mais en fait, moi je ferais en même temps 3) et 4). Pour montrer que c'est une base, je prendrais une f quelconque et je montrerais qu'elle est combinaison linéaire des i de manière unique.
Salut
1) Subdivise [a,b]. Pour chaque subdivision, on doit avoir une fonction affine joignant 2 de nos réels. Cette dernière est unique.
S'il existait une autre fonction affine par morceau vérifiant les conditions, elle coïnciderait avec notre fonction sur chaque subdivision, ça nous laisse pas beaucoup de choix...
2) On revient à la définition d'un sev !
Bonjour,
Pour la 1) calcule effectivement la restricetion de ta fonction affine a l'intervalle [a_i,a_{i+1}], quand tu connais deux points de ta fonction affine tu la connais tout entière.
Pour la 2) montre plutot que c'est un ss espace de l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b].
Pour la 3), y a pas de base canonique ici... Montre que c'est une famille libre et generatrice...la question 1 devrait t'aider...
Pour la 4), la aussi elle s'exprime simplement grace aux fonction deltas...Les questions 1 et 3 devraient t'aider...
Pour 1): j'introduis quand même une fonction g dans la récurrence pour montrer l'unicité?
Pour 3 et 4): en fait je voulais dire i, mais j'ai bien compris ton raisonnement et comment l'appliquer.
Sinon merci beaucoup pour tes pistes, ça me permet déjà d'avancer
Bonjour à tous,
Je m'excuse de refaire appel à vos services mais je continue à sécher complètement sur ce DM, et mes raisonnements n'aboutissent pas..
Voici les nouvelles questions qui me posent problème et le raisonnement que j'ai utilisé:
(les notations sont les mêmes qu'au début, c'est toujours le même sujet)
1) Soit j un entier dans {0,...,N}. On suppose qu'il existe N-1 réels i où ij et tels que j=ijii.
Montrer que la fonction ijii est dérivable au point aj.
-> J'ai utilisé la limite du taux d'accroissement, c'est le raisonnement qu'on utilise toujours dans ce cas.
Le problème est qu'à la fin de ce raisonnement, je ne trouve pas la même limite à gauche de aj
(je trouve -iji) et à droite (où je trouve +iji), après avoir utilisé l'inégalité triangulaire pour essayer de faire un encadrement.
2) J'ai réussi à démontrer que ={0,...,N} est une base de E. Montrer que la matrice de passage de la base B à la base est P=(pi,j) où pi,j=|aj-ai|.
-> Le problème est que lorsqu'il fallait trouver une matrice de passage, on a toujours utilisé la méthode de passer par les valeurs propres, raisonnement qu'on ne peut appliquer ici. Donc ma question est simplement: quel raisonnement appliquer et comment?
Merci encore à tous pour votre aide, ce DM est en train de me rendre chèvre, et ce n'est pas peu dire..
A+
Ah non je ne l'avais pas posté effectivement..
On note i(x) la fonction définie sur [a;b] par
x[a;b], i(x)=|x-ai|.
Voilà
Alors 1) La fonction est combinaison linéaire de fonctions qui sont dérivables au point aj. La seule qui a des malheurs en ce point est
Pour ce qui est de la matrice de passage:
Il faut exprimer chaque fonction sur la base . Les coefficients constituent la k-ème colonne de la matrice cherchée.
Si tu as correctement fait la question 4) tu as déjà la réponse!
Merci pour la 1), en fait c'était très simple et mes calculs qui n'aboutissaient as étaient en fin de compte inutiles..
Pour la 2ème partie, par contre je n'ai pas très bien compris.. (désolé mais encore une fois je n'ai pas l'habitude de manipuler des matrices par ces procédés-là..)
Pour la 4), j'ai bien exprimé f comme combinaison linéaire des i, et j'en ai déduit que pour tout i, f(ai)=i (en prenant les comme coefficients de la combinaison linéaire).
Donc je ne vois pas le rapport avec les valeurs absolues
Voilà, et merci encore.
Bon, tu viens de montrer que pour toute fonction on a
Tu as donc
Les coordonnées de la fonction sur la base des sont donc bien les
Par définition, la matrice de passage entre deux bases est la matrice dont la j-ème colonne est formée des coordonnées du j-ème vecteur de la nouvelle base sur l'ancienne.
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