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Niveau Licence Maths 1e ann
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Algèbre linéaire et fonctions

Posté par
loubega
15-10-08 à 15:39

Bonjour à tous,

Je fais appel aux services de ce forum car j'ai de gros soucis pour finir mon DM d'algèbre pour la semaine prochaine.. J'ai déjà pas mal bossé dessus mais l'énoncé est tellement peu en rapport avec le cours que je ne pourrai pas m'en sortir seul.. Voici une partie de l'énoncé et les problèmes que je rencontre:

Soit [a;b] un intervalle de et on note C[a;b] le -espace vectoriel des fonctions continues sur [a;b] à valeurs réelles.
Soit N dans * et N+1 réels a0, ... , aN vérifiant:
a=a0< a1< .. < aN = b.
(subdivision de [a;b] en N intervalles [ai;ai+1]).
Soit E le sous-ensemble de C([a;b]) formé des fonctions définies sur [a;b] dont les restrictions à chacun des intervalles [ai;ai+1] sont affines.

Voilà maintenant les questions qui me posent problème:

1)On donne N+1 réels 0,...,N. Montrer qu'il existe une unique fonction f de E vérifiant
pour tout i de {0,...,N}, f(ai)=i.

-> C'est évident à voir car f est une fonction affine "par morceaux", donc il n'en existe qu'une pour relier les entre eux. Seulement comment démontrer mathématiquement l'existence et l'unicité? J'ai essayé en introduisant une autre fonction g identique et en voulant montrer que f-g est nulle mais sans résultat..

2) Montrer que E est un espace vectoriel réel.
->Il faut partir de la définition ( (E,+) est un groupe commutatif, etc..) ou il y a plus court selon vous?

3)Pour tout i de {0,...N} on pose i l'unique fonction de E vérifiant i(ai)=1 et i(aj)=0 si ij.
Montrer que B={0,...,N} est une base de E.

-> Serait-ce la base canonique ou suis-je complètement hors-sujet pour l'interprétation de la fonction ?

4) Soit fE, exprimer f dans B.

-> Pour cela, j'ai besoin de votre avis sur la fonction ..

Voilà, pour le reste je vais essayer de me débrouiller tout seul, mais je vous serai déjà extrêmement reconnaissant de m'aider pour cela car je n'ai jamais eu autant de mal sur un DM..
Merci d'avance à tous ceux qui répondront!
A+

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algèbre linéaire et fonctions 15-10-08 à 15:46

Bonjour

Pour 1): Si tu veux une jolie rédaction, fais-le par récurrence sur N.

2) Oui, il y a plus court: il suffit de vérifier que c'est un sous-espace vextoriel de l'espace vectoriel C([a;b]), donc de dire que la fonction nulle y est et que c'est stable par combinaison linéaire, ce qui est purement formel.

3) Dans ce cadre, "base canonique" ne veut pas dire grand chose. Je ne sais pas ce que tu appelles .

Mais en fait, moi je ferais en même temps 3) et 4). Pour montrer que c'est une base, je prendrais une f quelconque et je montrerais qu'elle est combinaison linéaire des i de manière unique.

Posté par
Nightmare
re : Algèbre linéaire et fonctions 15-10-08 à 15:48

Salut

1) Subdivise [a,b]. Pour chaque subdivision, on doit avoir une fonction affine joignant 2 de nos réels. Cette dernière est unique.

S'il existait une autre fonction affine par morceau vérifiant les conditions, elle coïnciderait avec notre fonction sur chaque subdivision, ça nous laisse pas beaucoup de choix...

2) On revient à la définition d'un sev !

Posté par
Nightmare
re : Algèbre linéaire et fonctions 15-10-08 à 15:48

Salut Camélia

Désolé je n'avais pas vu ton message!

Posté par
Rodrigo
re : Algèbre linéaire et fonctions 15-10-08 à 15:49

Bonjour,
Pour la 1) calcule effectivement la restricetion de ta fonction affine a l'intervalle [a_i,a_{i+1}], quand tu connais deux points de ta fonction affine tu la connais tout entière.
Pour la 2) montre plutot que c'est un ss espace de l'espace vectoriel des fonctions continues sur [a,b].
Pour la 3), y a pas de base canonique ici... Montre que c'est une famille libre et generatrice...la question 1 devrait t'aider...
Pour la 4), la aussi elle s'exprime simplement grace aux fonction deltas...Les questions 1 et 3 devraient t'aider...

Posté par
loubega
re : Algèbre linéaire et fonctions 15-10-08 à 15:53

Pour 1): j'introduis quand même une fonction g dans la récurrence pour montrer l'unicité?

Pour 3 et 4): en fait je voulais dire i, mais j'ai bien compris ton raisonnement et comment l'appliquer.

Sinon merci beaucoup pour tes pistes, ça me permet déjà d'avancer

Posté par
loubega
re : Algèbre linéaire et fonctions 15-10-08 à 15:54

Oups pardon, je répondais à Camelia, mais merci également aux autres

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algèbre linéaire et fonctions 15-10-08 à 16:05

Salut à tous!

Posté par
loubega
re : Algèbre linéaire et fonctions 17-10-08 à 18:10

Bonjour à tous,

Je m'excuse de refaire appel à vos services mais je continue à sécher complètement sur ce DM, et mes raisonnements n'aboutissent pas..
Voici les nouvelles questions qui me posent problème et le raisonnement que j'ai utilisé:
(les notations sont les mêmes qu'au début, c'est toujours le même sujet)

1) Soit j un entier dans {0,...,N}. On suppose qu'il existe N-1 réels i où ij et tels que j=ijii.
Montrer que la fonction ijii est dérivable au point aj.

-> J'ai utilisé la limite du taux d'accroissement, c'est le raisonnement qu'on utilise toujours dans ce cas.
Le problème est qu'à la fin de ce raisonnement, je ne trouve pas la même limite à gauche de aj
(je trouve -iji) et à droite (où je trouve +iji), après avoir utilisé l'inégalité triangulaire pour essayer de faire un encadrement.

2) J'ai réussi à démontrer que ={0,...,N} est une base de E. Montrer que la matrice de passage de la base B à la base est P=(pi,j) où pi,j=|aj-ai|.

-> Le problème est que lorsqu'il fallait trouver une matrice de passage, on a toujours utilisé la méthode de passer par les valeurs propres, raisonnement qu'on ne peut appliquer ici. Donc ma question est simplement: quel raisonnement appliquer et comment?

Merci encore à tous pour votre aide, ce DM est en train de me rendre chèvre, et ce n'est pas peu dire..
A+

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algèbre linéaire et fonctions 18-10-08 à 14:27

Rebonjour

Qui sont les \varphi?

Posté par
loubega
re : Algèbre linéaire et fonctions 18-10-08 à 21:01

Pour les , cf mon 1er post Merci!

Posté par
loubega
re : Algèbre linéaire et fonctions 18-10-08 à 21:04

Ah non je ne l'avais pas posté effectivement..
On note i(x) la fonction définie sur [a;b] par
x[a;b], i(x)=|x-ai|.

Voilà

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algèbre linéaire et fonctions 19-10-08 à 15:16

Alors 1) La fonction \sum_{i\neq j}\lambda_i\varphi_i est combinaison linéaire de fonctions qui sont dérivables au point aj. La seule qui a des malheurs en ce point est \varphi_j.
 \\

Pour ce qui est de la matrice de passage:

Il faut exprimer chaque fonction \varphi_j sur la base (\delta_0,...,\delta_N). Les coefficients constituent la k-ème colonne de la matrice cherchée.

Si tu as correctement fait la question 4) tu as déjà la réponse!

Posté par
loubega
re : Algèbre linéaire et fonctions 19-10-08 à 15:48

Merci pour la 1), en fait c'était très simple et mes calculs qui n'aboutissaient as étaient en fin de compte inutiles..

Pour la 2ème partie, par contre je n'ai pas très bien compris.. (désolé mais encore une fois je n'ai pas l'habitude de manipuler des matrices par ces procédés-là..)
Pour la 4), j'ai bien exprimé f comme combinaison linéaire des i, et j'en ai déduit que pour tout i, f(ai)=i (en prenant les comme coefficients de la combinaison linéaire).
Donc je ne vois pas le rapport avec les valeurs absolues

Voilà, et merci encore.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Algèbre linéaire et fonctions 19-10-08 à 15:56

Bon, tu viens de montrer que pour toute fonction on a

f=\bigsum_{i=0}^N f(a_i)\delta_i

Tu as donc \varphi_j=\bigsum_{i=0}^N\varphi_j(a_i)\delta_i=\bigsum_{i=0}^N|a_j-a_i|\delta_i

Les coordonnées de la fonction \varphi_j sur la base des \delta sont donc bien les |a_j-a_i|

Par définition, la matrice de passage entre deux bases est la matrice dont la j-ème colonne est formée des coordonnées du j-ème vecteur de la nouvelle base sur l'ancienne.

Posté par
loubega
re : Algèbre linéaire et fonctions 19-10-08 à 15:59

D'accordddd, comme ça c'est beaucoup plus clair!
Désolé d'avoir insisté aussi lourdement, les matrices de passage ont toujours été pour moi un point assez obscur
Et merci encore pour ton aide! Bon après-midi!



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