Bonjour,
Les idéaux principaux (a^n) forment une suite décroissante d'ideaux, qui est donc stationnaire (pour info un tel anneau est dit artinien), donc (a^n)=(a^{n+1}) pour un certain n, et donc a^n est dans (a^{n+1}).
On en deduit qu'il existe k dans A tel que a^n=ka^{n+1} et par intégrité ka=1 et donc a est inversible.

Salut

utilise ton hypothèse de départ, ta suite d'idéaux est stationnaire !

Oula, j'aurais dû actualiser.

salut Rodrigo

Bonjour,
En fait je ne comprends pas pourquoi si les idéaux principaux (aⁿ) forment une suite décroissante d'idéaux, elle est donc stationnaire ?

C'est écrit dans ton énoncé

Salut Jord.

Euh oui bien sûr, j'avais mal compris l'énoncé

Et est-ce que A[X] est principal ?

Bonjour

A[X] est principal si et seulement si A est un corps.

Donc A[X] n'est pas principal ?

Sauf si A est un corps! (un corps vérifie bien tes hypothèses)

Mais en fait dans le cours on a écrit que A[X] n'était jamais un corps.
Car l'élément X de A[X] vérifie degré PX = degré P + 1 pour tout P € A[X], de sorte que l'on ne peut pas avoir PX=1, ce qui montre que X n'est jamais inversible

Non ?

Effectivement A[X] n'est jamais un corps pour A intègre du moins.
MAis ici on te dit que A[X] est principal ssi A est un corps...C'est tres différent.

Franchement là je ne comprends pas...
Si A[X] principal => A corps
alors si A n'est pas un corps, A[X] n'est pas principal ?
Enfin je ne comprends pas la différence...

OUi c'est ça...c'est pareil mais comme Camélia a dit on a meme la reciproque si A est un corps alors A[X] est principal (ce sens est en fait le plus simple)

Je recapitule A corps <=> A[X] principal.

Attentions c'est (a^n) qui est egal à (a^{n+1}), si tu preferes a^nA=a^{n+1}A (quand on ecrit (x) cela signifie l'ideal engendré par x et donc xA c'est peut etre cela qui te gène). Donc a^n appartient a a^{n+1}A et il existe donc k dans A tel que ka^{n+1}=a.
Maintenant l'intégrité intervient pour simplifier. Que fait on quand on simplifie on ecrit que a^n(ka-1)=0 et donc on utilise l'intégrité pour ecrire que ka-1=0

Ah oui d'accord !!
Merci beaucoup pour toutes les réponses !

Bonsoir

j'ai moi aussi cet exercice à faire...

J'avoue que je ne suis pas à l'aise avec les idéaux. Les anneaux ça va mais les idéaux j'ai un peu de mal à visualiser.

Juste pour être sur car je m'embrouille avec les notations que tu utilises...

Question 1 :
Montrer qu'il existe k dans IN tel que a^k appartient à J(k+1)

In est stationnaire et c'est une suite d'idéaux décroissante donc comme les Jn sont des idéaux aussi ils vérifient également cette propriété donc :
Il existe un certain k dans IN tel que J(k+1)=Jk (ça marche car k+1<k)
c'est à dire a^(k+1)A=a^kA ....... donc a^k appartient à J(k+1)

et pour l'inversible,
a^k appartient à J(k+1) donc il existe l dans A tel que la^(k+1) = a^k et paf l'intégrité patati patata.

mais c'est le k que tu utilises, j'ai peur de me tromper et de pas coller avec l'énoncé. Comme je suis pas très à l'aise, je préfère demander... Ma rédaction est juste ou je me mélange ?
Merci d'avance...

je peux pas éditer mais c'est "ça marche car k+1>k" on est d'accord ^^

Ben oui c'est le meme k qu'on utilise, celui pour lequel la suite devient sationnaire.

donc c'est faux ce que je mets ? je pige pas pourquoi tu prends un "n" pour "a^nA=a^{n+1}A"

toi, si j'ai tout compris (ce qui est loin d'être sur ^^) c'est que a^n appartient à J(n+1).

c'est pas ce qu'on veut si ? (je m'excuse si ma question est débile...)

Pourquoi c'est fauw ce que tu met? Non pas du tout!

Il existe un n tel que (a^n)=(a^{n+1}) es tu d'accord avec ça?

Ceci implique que a^n=ka^{n+1} et donc ka=1

C'est mieux?

Nan... :/

En fait on veut montrer que a^k appartient à J(k+1) donc a^k appartient à a^(k+1)A.

donc moi pour coller avec notre énoncé j'utilise un 'k' (et toi un 'n') et du coup moi après pour montrer que a est inversible, je dois prendre une autre lettre donc je prends 'l' et c'est là que toi tu utilises le 'k' et c'est ce qui me perd un peu... Est ce que le k que tu utilises correspond avec le 'k' de l'énoncé ? car si oui, ça voudrait dire que j'ai rien compris et que j'ai tout faux XD

Pour avoir comme l'énoncé (c'est à dire "a^k appartient à J(k+1)") il me faut avoir :
Il existe un k tel que (a^k)=(a^{k+1})
Et toi tu prends un 'n' là.
Donc si je comprends bien tu montres que "a^n appartient à J(n+1)"

et après pour l'inversibilité tu sors le fameux 'k'. Et j'ai peur qu'en prenant un 'l' moi car je dois pas reprendre le 'k' vu qu'il me sert pour ma suite stationnaire ce soit faux.
Tu comprends ce qui me gène ?

Ah le k tel que a^{n}=ka^{n+1}
Non ce k la n'a rien a voir.
Le nom deslettres n'a pas un grand importance ici, j'ai montre qu'il existe n tel que Jn=J_{n+1} dans ton ennocné il s'appelle k mais ca n'a aucune importance...
Ensuit comme J_n=J_{n+1} il existe disons x dans A (celui que j'appelais k avant ) tel que a^n=xa^{n+1} et donc 1=xa
C'est meiux?

Ouiiiiiiiii ! J'avais bien compris alors

Je commençais à désespérer ! Comme je suis pas à l'aise, j'ai vite fait de prendre deux éléments avec le même nom qui n'ont pas du tout la même fonction et c'est ce qui me vaut de mauvaise surprise en partiel !

Donc ma rédaction colle bien avec mon énoncé. Je prends mon 'k' pour ma première "inconnue" et après un 'l' pour l'inversibilité et ça colle bien, si j'ai bien compris !

Encore merci pour ta rapidité et ta disponibilité.

Oui oui ton premier post etait bon...c'etait moi qui avait mal lu. Bref on a réglé le probleme. Bon courage pour la suite...Comme pour tout avec le temps et la pratique ca va te sembler naturel.

Croisons les doigts pour que tu dises vrai ! Dernière année, encore un semestre à tenir ^^

Encore merci, et bonne continuation à toi aussi