Bonjour, j'ai du mal à comprendre l'application du DL de ln (1 + x) pour encadrer cette fonction par x et x - x2/2. J'ai pourtant la correction... Si quelqu'un peux m'aider.
Merci d'avance.
Bonjour
Qu'est ce que tu ne comprends pas ? En fait ici au voisinage de 0 :
ln(1+x) = x - x²/2 + o(x2) ou
ln(1+x) = x - x²/2 + x3/3 + o(x3) suivant la précision dont tu as besoin
Donc si tu fais :
x-ln(1+x) = x²/2 + o(x²) Comme x² est positif, x-ln(1+x) > 0
Et si tu fais :
(x-x²/2)-ln(1+x) = -x3/3 + o(x3) et là ça dépend de la valeur de x
ok ?
Salut lyonnais.
Attention le développment infini de Taylor (Mac-Laurin) de ln(1+x) n'est convergeant que sur [-1 ; 1]
Et donc ce dévellopement ne reprsente la fonction f(x) = ln(1+x) que sur [-1 ; 1]
Salut J_P
Oui, je suis d'accord
C'est même plutôt pour x dans ]-1,1[ (on peut prendre en 1 en utilisant le TSA et la continuité).
Mais j'ai bien précisé "au voisinage de 0" (même si ce n'était peut-être pas très clair)
Oui, mais un développement de Taylor (Mac Laurin) en 0 peut très bien pouvoir représenter une fonction loin de 0. (par exemple ceux de sin(x) ou cos(s) ou e^x ou ... sont valables sur R)
Ce n'est pas le cas pour d'autres développements (et pas ici pour celui de ln(1+x) qui n'est valable que sur [-1 ; 1])
Cela marche aussi en -1, car la somme de l'infinité de termes de la série de Taylor (Mac-Laurin) de ln(1+x) est bien égale à -oo.
Mais peut-être ne peut-on pas dire que la série est convergente, c'est une question de vocabulaire.
Il faudrait plutôt dire que le dévelloppement de Taylor (Mac Laurin) représente la fonction sur [-1 ; 1], même si les puristes ergoterons sur le fait que l'infini n'est pas un nombre.
Bonjour vous deux
Pourquoi quelqu'un qui ne se dit pas puriste tu chipotes J-P
Surtout que dans ce contexe "au voisinage de 0" est clair on se place à l'origine et pas ailleurs, sinon on signalerait qu'on se ramène à un "DL en 0".
On peut aussi simplement étudier les fonctions x -> ln(1+x) - x et x -> ln(1+x) - (x-x²/2)
Ce qui nous donne un résultat global.
Oui infophile,
C'est la manière la plus simple, mais ce n'est pas ce qui est demandé dans l'énoncé.
L'énoncé demande d'utiliser un développement de Taylor pour ...
Si on veut respecter cela, on a besoin de rester dans le cadre où ce développment reste valable, d'où ma question initiale "Sur quel intervalle de x ?"
Il n'est pas rare que certains utilisent un développement sans penser à se restreindre au domaine dans lequel il est valable (même des profs) et c'est pour cela que j'aurais voulu savoir si alain83 avait omis des parties de l'énoncé, ou à défaut savoir ce qu'avait été la correction du prof.
Bonjour, excusez moi de ne pas avoir répondu hier, je travaillais.
Je n'ai pas de réponses à toutes vos questions.
Dans les énoncés que j'ai, x est un réel positif non nul.
On applique la formule de Taylor Lagrange (et non pas Young, je m'excuse) et on utilise le reste de Lagrange avec un c ]0,x[ et on a :
Comme
...
Excusez moi de vous avoir fait perdre du temps, du coup j'ai compris (enfin je crois).
Merci J_P pour ta réponse
Je vois bien où tu penses être le problème, et tu as raison.
C'est vrai que la plus clair est quand même de mettre, sur ]-1,1[ , ln(1+x) est développable en série entière et ... (ou alors parler du développement de Taylor).
Après, c'est une question de goût (Salut Kevin)
Bonsoir, je dois utiliser ce résultat pour démontrer que :
converge.
Je n'arrive pas à monter que cette suite est croissante.
J'aimerai bien montrer sa monotonie et l'encadrer :
Mais je n'y arrive et ne comprends pas comment utiliser le résultat précédent.
Merci de votre aide.
Bonsoir, excusez moi de vous solliciter encore, je suis toujours coincé.
Merci d'avance pour toute piste pouvant me faire avancer.
Re
Tu sais que ln(ab) = ln(a)+ln(b) En répétant ce résultat, tu obtiens :
Tu peux donc encadrer ln(u(n)) grâce à la question d'avant et donc u(n) en utilisant une propriété de ln
ok ?
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