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aplication des DL Taylor Young

Posté par
alain83
03-04-09 à 10:14

Bonjour, j'ai du mal à comprendre l'application du DL de ln (1 + x) pour encadrer cette fonction par x et x - x2/2. J'ai pourtant la correction... Si quelqu'un peux m'aider.

Merci d'avance.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : aplication des DL Taylor Young 03-04-09 à 10:56

Sur quel intervalle de x ?

Posté par
lyonnais
re : aplication des DL Taylor Young 03-04-09 à 10:56

Bonjour

Qu'est ce que tu ne comprends pas ? En fait ici au voisinage de 0 :

ln(1+x) = x - x²/2 + o(x2) ou

ln(1+x) = x - x²/2 + x3/3 + o(x3) suivant la précision dont tu as besoin



Donc si tu fais :

x-ln(1+x) = x²/2 + o(x²)  Comme x² est positif, x-ln(1+x) > 0

Et si tu fais :

(x-x²/2)-ln(1+x) = -x3/3 + o(x3)  et là ça dépend de la valeur de x

ok ?

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : aplication des DL Taylor Young 03-04-09 à 11:02

Salut lyonnais.

Attention le développment infini de Taylor (Mac-Laurin) de ln(1+x) n'est convergeant que sur [-1 ; 1]

Et donc ce dévellopement ne reprsente la fonction f(x) = ln(1+x) que sur [-1 ; 1]

Posté par
lyonnais
re : aplication des DL Taylor Young 03-04-09 à 11:07

Salut J_P

Oui, je suis d'accord

C'est même plutôt pour x dans ]-1,1[ (on peut prendre en 1 en utilisant le TSA et la continuité).

Mais j'ai bien précisé "au voisinage de 0" (même si ce n'était peut-être pas très clair)

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : aplication des DL Taylor Young 03-04-09 à 14:56

Oui, mais un développement de Taylor (Mac Laurin) en 0 peut très bien pouvoir représenter une fonction loin de 0. (par exemple ceux de sin(x) ou cos(s) ou e^x ou ... sont valables sur R)
  
Ce n'est pas le cas pour d'autres développements (et pas ici pour celui de ln(1+x) qui n'est valable que sur [-1 ; 1])

Cela marche aussi en -1, car la somme de l'infinité de termes de la série de Taylor (Mac-Laurin) de  ln(1+x) est bien égale à -oo.
Mais peut-être ne peut-on pas dire que la série est convergente, c'est une question de vocabulaire.

Il faudrait plutôt dire que le dévelloppement de Taylor (Mac Laurin) représente la fonction sur [-1 ; 1], même si les puristes ergoterons sur le fait que l'infini n'est pas un nombre.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : aplication des DL Taylor Young 03-04-09 à 14:57

Zut pour mon orthographe.

Posté par
infophile
re : aplication des DL Taylor Young 03-04-09 à 15:26

Bonjour vous deux

Pourquoi quelqu'un qui ne se dit pas puriste tu chipotes J-P

Surtout que dans ce contexe "au voisinage de 0" est clair on se place à l'origine et pas ailleurs, sinon on signalerait qu'on se ramène à un "DL en 0".

Posté par
infophile
re : aplication des DL Taylor Young 03-04-09 à 15:26

Pour quelqu'un *

Posté par
infophile
re : aplication des DL Taylor Young 03-04-09 à 15:28

On peut aussi simplement étudier les fonctions x -> ln(1+x) - x et x -> ln(1+x) - (x-x²/2)

Ce qui nous donne un résultat global.

Posté par
J-P Posteur d'énigmes
re : aplication des DL Taylor Young 03-04-09 à 17:32

Oui infophile,

C'est la manière la plus simple, mais ce n'est pas ce qui est demandé dans l'énoncé.

L'énoncé demande d'utiliser un développement de Taylor pour ...

Si on veut respecter cela, on a besoin de rester dans le cadre où ce développment reste valable, d'où ma question initiale "Sur quel intervalle de x ?"

Il n'est pas rare que certains utilisent un développement sans penser à se restreindre au domaine dans lequel il est valable (même des profs) et c'est pour cela que j'aurais voulu savoir si alain83 avait omis des parties de l'énoncé, ou à défaut savoir ce qu'avait été la correction du prof.

Posté par
alain83
fonctions de plusieurs variables : continuité 04-04-09 à 09:55

Bonjour, excusez moi de ne pas avoir répondu hier, je travaillais.

Je n'ai pas de réponses à toutes vos questions.
Dans les énoncés que j'ai, x est un réel positif non nul.
On applique la formule de Taylor Lagrange (et non pas Young, je m'excuse) et on utilise le reste de Lagrange avec un c \in ]0,x[ et on a :

ln(1+x) \ = \ x \ - \ \frac{x^2^}{2} \ \frac{1}{(1+c)}^2

Comme -1 \leq \frac{1}{(1+c)} \leq 0

...

Excusez moi de vous avoir fait perdre du temps, du coup j'ai compris (enfin je crois).

Posté par
lyonnais
re : aplication des DL Taylor Young 04-04-09 à 16:10

Merci J_P pour ta réponse

Je vois bien où tu penses être le problème, et tu as raison.

C'est vrai que la plus clair est quand même de mettre, sur ]-1,1[ , ln(1+x) est développable en série entière et ... (ou alors parler du développement de Taylor).

Après, c'est une question de goût (Salut Kevin)

Posté par
alain83
aplication des DL Taylor Lagrange 04-04-09 à 22:37

Bonsoir, je dois utiliser ce résultat pour démontrer que :

u_n \ = \ \prod_{k=1}^{n}(1 \ + \ \frac{k}{n^2^})converge.

Je n'arrive pas à monter que cette suite est croissante.

J'aimerai bien montrer sa monotonie et l'encadrer :

(1 \ + \ \frac{1}{n^2})^n \ \leq \ u_n \ \leq \ (1 \ +\ \frac{1}{n})^n

Mais je n'y arrive et ne comprends pas comment utiliser le résultat précédent.

Merci de votre aide.

Posté par
alain83
aplication des DL Taylor Lagrange 05-04-09 à 18:56

Bonsoir, excusez moi de vous solliciter encore, je suis toujours coincé.

Merci d'avance pour toute piste pouvant me faire avancer.

Posté par
lyonnais
re : aplication des DL Taylor Young 06-04-09 à 12:30

Re

Tu sais que ln(ab) = ln(a)+ln(b) En répétant ce résultat, tu obtiens :

\Large ln(u(n)) = ln(\prod_{k=1}^{n} (1+\frac{k}{n^2})) = \sum_{k=1}^n ln(1+\frac{k}{n^2})

Tu peux donc encadrer ln(u(n)) grâce à la question d'avant et donc u(n) en utilisant une propriété de ln

ok ?

Posté par
alain83
aplication des DL Taylor Lagrange 06-04-09 à 13:47

Merci beaucoup, ça devrait aller maintenant, j'ai eu des soucis pour trouver à quoi était égal\large\sum_{k=1}^n \ k^2

Posté par
lyonnais
re : aplication des DL Taylor Young 06-04-09 à 14:02

Je te pris

1²+2²+...+n² = [n(n+1)(2n+1)]/6

Bonne journée



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