Bonjour,
Voilà le sujet qui me donne du fil à retordre :
Le but de cet exercice est de déterminer les valeurs exactes de cos (Pi/5) et cos (2Pi/5).
1.a. Démontrer que pour tout x appartenant à R : sin3x = sinx + 2sinx * cos2x
b. En déduire que sin (3Pi/10)= sin(pi/10) + 2sin(pi/10) * cos(pi/5)
2. En constatant que (pi/10) = (pi/2) - (2pi/5) et (3pi/10) = (pi/2) - (pi/5), démontrer que cos (pi/5) est solution de l'équation 4x^3+2x²-3x-1=0
3. Soit P(X)= 4x^3 + 2x² -3x -1
a. Vérifier que pour tout x appartenant à R, P(X) = (x+1)(4x²-2x-1)
b. Résoudre l'équation P(X) = 0
4. Déduire des questions 2. et 3.b. la valeur exacte de cos (pi/5), puis celle de cos (2pi/5)
Voilà, donc concernant la 3, je n'ai pas de problème, cependant pour 1. et 2. je ne vois pas quoi faire, la 1.b. me semble faisable une fois la a. trouvée.
Je n'ai que deux formules dans mon livre : cos2a=cos²a-sin²a et sin2a=2sin a cos a
Merci de votre aide, je ne trouve vraiment pas de piste...
Bonne journée.
Bonjour.
1.a :
sin3x = sin (2x +x) utiliser sin(a+b) ; cos2a=cos²a-sin²a et sin2a=2sin a cos a
2. Ona :
sin (3Pi/10)= sin(pi/10) + 2sin(pi/10) * cos(pi/5)
sin (pi/2 - pi/5 )= sin(pi/2 - 2pi/5 ) + 2sin(pi/2 - 2pi/5 ) * cos(pi/5)
utiliser sin(pi/2 - a)
Tout d'abord, merci de me venir en aide,
En suivant vos indications :
1. sin3x = sinx + 2sinx * cos2x
Donc, d'une part :
sin3x=sin(2x+x)
sin3x=sin2x*cosx+cos2x*sinx
Ensuite il faut utiliser : cos2a=cos²a-sin²a et sin2a=2sin a cos a
Mais donc :
sin3x=2sin x cos x cosx + cos²x-sin²x sin x
sin3x=2sin x cos²x+cos²x-sin^3x
Je pense avoir commis une erreur.
Mais donc :
sin3x=2sin x cos x cosx +cos2x sin x
sin3x=2sin x cos² x + cos2x sin x
or 2cos²x = 1 +cos2x
donc : ....................
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