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Application nilpotente démonstration contradictoire
Bonjour à tous ,
Voilà plusieurs heures que je bloque sur ce problème , je vous serai très reconnaissant de m'aider ...
Soit E un K-espace vectoriel de dimension 3 : U appartient à l'ensemble des applications linéaires de E dans E tel que UoU=l'application nulle et que U différent de l'application nulle.
1)Que dire de Ker(U) et Im(U) (inclusion et nature).
2)Prouver qu'il existe une base B de E telle que la matrice représentant U dans la base B soit:
M=( 0 1 0 )
( 0 0 0 )
( 0 0 0 )
1) Pour la première question voilà mon souci:
je montre que Im(U) est inclu dans Ker(U) :
UoU=O implique que pour tout x € E u(u(x))=0 donc pour tout x de E, u(x) € Ker(U) .Or lorsque x parcourt E, u(x) parcourt Im(U). Donc Im(U) est inclu dans Ker(U).
Mais je peux aussi prouver que Ker(U) est inclu dans Im(U):
Soit x € Im(U) il existe un y € E tel que u(y)=x par hypothése u²= o donc u(x)=u(u(y))= 0 donc x € Ker(u) d'où Ker(u) est inclu dans Im(u)
La où ça colle plus du tout c'est avec le théorème du rang :
D'aprés les deux démonstrations Ker(U)=Im(U) donc ils ont même dimension
mais dim(Ker) + dim(Im)= 3 D' où l'impossibilité.. J'ai du me tromper dans une des démonstrations mais où ?
2)Je ne suis rien arrivé à faire 
Merci d'avance!
PS : € c'est appartient..
Bonsoir.
Effectivement Im(u) 
Ker(u)
Comme u 
O, Im(u) {0} et Ker(u) E
Donc : 1 
dim(Im(u)) dim(Ker(u)) 2.
Si on rajoute que dim(Im(u)) + dim(Ker(u)) = 3, cela ne laisse qu'un seul choix :
dim(Im(u)) = 1
dim(Ker(u)) = 2
Ok merci Raymond.
Donc Ker(U) n'est pas inclue dans Im(u)... Mais en quoi la démonstration le démontrant est incorrecte ?
Pourquoi en déduis-tu la non inclusion ?
Simplement l'image est "un petit morceau" du noyau.
En termes plus mathématiques : Ker(u) est un plan vectoriel et Im(u) est une droite vectorielle incluse dans ce plan.
Il me semble que si Im(U)Ker(U) alors je ne vois pas comment Ker(u) peut être inclue dans Im(u) ( on aurait égalité de Im(u) et Ker(u)...)
Pourtant je l ' ai démontré plus haut.(enfin si c'est correcte)
"Mais je peux aussi prouver que Ker(U) est inclu dans Im(U):
Soit x € Im(U) il existe un y € E tel que u(y)=x par hypothése u²= o donc u(x)=u(u(y))= 0 donc x € Ker(u) d'où Ker(u) est inclu dans Im(u)"
Il y aurait une impossibilté avec le théoréme du rang car Im(U) et Ker(U) aurait même dimension et dim(Im(u))+dim(Ker(u))=3
x € Im(u) 
x = u(y) u(x) = u²(y) = 0 x € Ker(u)
Donc : Im(u) Ker(u)
Mais on n'a pas Ker(u) inclus dans Im(u)
D'accord j'ai donc fais un faux raisonnement ..
Encore merci Raymond tu viens de me éclairer sur un point de mon problème .
Malheureusement ,je suis encore plus embêté sur la 2) iéme question de mon problème .
Puisque u non nulle, il existe un vecteur e dans E tel que u(e) 0
Montrons que u(e) et e sont indépendants.
a.u(e) + b.e = 0
Je compose par u :
a.u²(e) + b.u(e) = 0
Comme u²(e) = 0, il reste b.u(e) = 0 et comme u(e) 0, b = 0.
En remontant, b = 0 a = 0.
Ainsi les vecteurs e et u(e) sont indépendants.
Comme u(e) 0, e appartient à un supplémentaire de Ker(u)
Comme u²(e) = 0, u(e) appartient à Ker(u).
Comme dim(Ker(u)) = 2, on peut prendre dans Ker(u) un second vecteur e' tel que (u(e),e') soit libre.
Finalement, on dispose d'une base de E : B = ( u(e) ; e ; e')
La matrice de u sur B s'obtient en écrivant en colonne les coordonnées des images des éléments de B dans la base B.
Or,
¤ u(u(e)) = u²(e) = 0
¤ u(e) = u(e) = 1.u(e) + 0.e + 0.e'
¤ u(e') = 0 (rappelons que e' est choisi dans Ker(u))
Finalement :
D'accord , ton explication est très claire ..
Je n'avais pas pensé à compléter ma famille libre (u(e),e) par ce vecteur e'.
Pour la troisième fois merci bien !
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