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application reciproque injection surjetcion bijection
bonjour tout le monde j'ai un petit problème j'arrive pas à trouver l'ensemble E et la bijection reciproque voila l'exos
Exercice 1 : Consid´erons les fonctions f et h suivantes :
- f : R \ {−1} ! R d´efinie par f(x) = (3x−2)/(x+1)
-) h : R \ {−1} ! {0, 1} avec h(x) = 1 si x est rationnel, et h(x) = 0 si x
est irrationnel
(a) Montrer que f est injective mais pas surjective.
(b) D´eterminer f(R \ {−1}).
Penser `a faire le tableau de variation de f ou `a tracer le graphique de
f pour vous aider.
(c) En d´eduire un ensemble E tel que la fonction g : R \ {−1} ! E, avec
g(x) = f(x) soit une bijection. Donner la bijection r´eciproque de g.
(d) On consid`ere la fonction : R \ {−1} ! E × {0, 1} d´efinie par
(x) = (g(x), h(x)). Est-elle injective ? surjective ? Justifer la r´eponse
bon j'ai trouver que f était bijetive donc injective et surjevtive et que f(R/{-1})=R/{-racine3,+racine3}
j'espère que c'est correcte merci
bonsoir
ce que tu écris n'est pas toujours très lisible... et pas bien correct à mon avis au niveau de tes résultats.
bon, déjà pour le (a), tu as dis quoi ?
tu dis qu'elle n'est pas bijective elle n'est pas injective ou surjective ?? parce que il n'ya pas d'images qui ont le même antecedant et pour la surjectivité on a l'equiation f(x)=y qui a une solution , merci d'avoir répondu
Oui oui t'a raison c'est f n'est pas surjective par exemple si on prend -2 il n'a pas d'antecedant , et pour l'injectivité si on prend x différent de x' ==> que f(x) différente de f(x') donc injective .
Pour (c) En d´eduire un ensemble E tel que la fonction g : R \ {−1} -> E, avec
g(x) = f(x) soit une bijection. Donner la bijection r´eciproque de g.
vous pouvez me donner une piste , un shéma comment proceder ? merci .
si si ... (-2) a un antécédent ! c'est 4/5 si je ne m'abuse !
j'en suis toujours à la question (1)
(tu as le droit de te servir de l'indication donnée dans l'énoncé !)
non desolé ça marche pas avec 4/5 f(4/5) est differente de -2 si t'as remarque à partire d'un certains terme négative la fonction est toujours positive par exemple tu prendre y=-20 tu trouvera jamais de x tq f(x)=y t'aura toujours (3x-2)/(x+1) >0 tu peux mettre la tableau de variation tu trouveras que f(x) est positive sur l'intevale ]-l'infini,-1[ donc tout y dans cette interval n'a pas d'antecedant ! si t'es d'accord ça serait on avance un peu merci
d'accord et -20 ?? il a pas d'antecedant ça nous suffit de dire que f n'est pas surjetctive cherche tu trouveras bien d'autre ...
Bonjour
Ce n'est pas une loterie!
Pour savoir si un élément y a un antécédent, on essaye de résoudre l'équation f(x)=y. Ici,
mène à
3x-2=xy+y
(3-y)x=y+2
Si on a donc
. Pour y=3 il n'y a pas d'antécédent.
merci camélia on peut aussi faire le tableau de variation ça peut aider non ?? bon les questions que j'avais pas compris sont c et d voila la c
(c) En d´eduire un ensemble E tel que la fonction g : R \ {−1} -> E, avec
g(x) = f(x) soit une bijection. Donner la bijection r´eciproque de g.
vous pouvez me donner une piste , un shéma comment proceder ? merci
Tu avais déjà vu que f est injective. Le calcul précédent montre que tout élément autre que 3 est dans l'image. Donc (g est la restriction de f) qui était déjà injective, est aussi bijective (ça se voit très bien sur le dessin) Sa réciproque est déjà calculée plus haut:
merci pour ta réponce alors au début t'avais trouver f(y+2/3-y)=y ce qui est vrai mais g-1(y)= (y+2)/(y+3) t'as fait comment ??
et pour la questions (d) comment je vais proceder sachant que on a un ensemble cartésien voila la question
On consid`ere la fonction : R \ {−1} -> E × {0, 1} d´efinie par
(x) = (g(x), h(x)). Est-elle injective ? surjective ? Justifer la r´eponse
Tu connais la définition de la réciproque? Puisque , en appliquant
on trouve
Pour la suite: qu'en penses-tu?
oui mais on a f(x)=y <=> x=(y+2/3-y) n'en pas (y+2)/(y-3)
donc la fonction reciproque sera g-1=(y-2)/(y+3) c'est ça ???
bon après pour (d) je dirais elle n'est pas injective on a pas d'antecedant qui ont la même image mais pour la surjectivité je sais pas on essai de resoudre l'équation g(x)=y et h(x)=z non ??
Soit . On veut résoudre l'équation (g(x),h(x))=(u,t).
L'équation a une solution unique déjà trouvée,
. Si u est rationnel, x est rationnel aussi, et alors h(x)=1. Donc si u est rationnel (u,0) n'a pas d'antécédent et
n'est pas surjective.
En revanche elle est injective parce que g l'est.
merci , alors y'a deux chose que j'ai pas compris la première c'est pourquoi h(x)=1 et pourquoi la fonction dépend seulement de g(x) pour dire qu'elle est injective ?
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