Bonjour,

ton énoncé est clairement faux, et sans doute incomplet! Déjà j'imagine qu'on appelle x le nombre (-1)^[(p-1)/2] ?

Dans ce cas, on a x² - 1 = 0[p] et non ce que tu as écrit!

De plus, voici un contre-exemple à ce que tu penses devoir prouver:

p = 7 est bien premier et congru à 3 mod 4, pourtant (-1)^(7-1)/2 = -1 [3] et pas 1[3] !


Merci de rectifier ton énoncé.

Je voulais dire que p=7 était congru à 4 mod 3 plutôt!

A ce propos, ne t'es-tu pas notamment trompé sur ce point de l'énoncé?
J'ai du mal à envisager que, dans ces conditions, il ne soit pas plutôt écrit que p = 1 mod 3, puisque c'est équivalent à p = 4 mod 3 !

Salut ^^

Bon c'est vrai que j'ai pris l'équation d'un contexte qu'il fallait que je copie.
Le voici:

On considère dans Z l'équation (E): x^2+y^3=7

1)démontrer que l'équation x²+1=0[8] n'admet pas de solutions.
2)On suppose dans ce qui suit que l'équation admet une solution (x,y).
a-démontrer que y est impair.On pose alors y=2z+1
b-vérifier que x²+1=(2-y)m tel que m=4z²+8z+7
c-démontrer que m=3 [4]
4)soit la décomposition de m en facteurs premiers.
a-démontrer que pour tout i de [1,r] p_i=1 [4] ou p_i=3[4]
b-démontrer qu'il existe un i de [1,r] tel que p_i=3[4]
5)déduire qu'il existe un entier premier qui réalise:
p>2 et p=3[4] et x²+1=0[p]
6)a-démontrer que
b-déduire que p=1 [4]
7)résoudre dans Z l'équation E

Mes réponses:

1)Avec un tableau dans Z/8Z la solution est évidente.(j'aurai bien aimé une autre méthode :p )
2)Si on suppose que x et y ont la même parité alors leur somme sera paire ce qui est absurde puisque 7 est impair.
b-simples  calculs.
c-m=4z²+8z+7=3[4]
4)a-Puisque les p_i sont premiers donc on peut pas avoir p_i=2[2] dans ce cas 2 divise p_i et la même chose si p_i=0[4].
b-Si on suppose par absurde que quelque soit i de [1;r] p_i n'est pas congru à 3  modulo [4] ce qui nous renvoit à p_i=1 [4] ça serait une contradiction car dés lors le produit des P_i sera congru à 1 modulo [4] mais on a m=3 [4] donc il existe un i tq p_i=3[4].
5)il existe un p>=3 car si p=2 alors on aura pas l'hypothèse P_i=3[4] ou P_i=1[4]. aussi P_i=3 on vient de le démontrer par absurde.et aussi x²+1=0[p] car on a x²+1=(2-y)m et comme p apparait dans la décomposition de m en facteurs premiers alors p divise x²+1 .

Voila je me bloque pour les questions qui restent.

Merci pour l'aide.

Ok, ça change, d'avoir l'énoncé complet!!

Alors toutes tes réponses ont l'air justes sauf la 2a) : ce n'est pas parce que x et y sont de paités différentes que forcément c'est y qui est impair! Utilise le fait que si y était pair, son cube serait égal à 0 mod 8, donc que (E) équivaudrait à x²+1 = 0 dans Z/8Z: d'après (1), cette équation n'admet pas de solutions, ce qui contredit alors l'hypothèse de la question 2.

6)a) (-1)^(p-1)/2 = (x²)^(p-1)/2 = x^p-1 = 0 ou 1 [p] d'après le petit théorème de Fermat.

Mais comme par ailleurs (-1)^(p-1)/2 vaut -1 ou 1 [p] et que pour p > 2, 0, 1 , et -1 sont deux à deux distincts dans Z/pZ, on en déduit que (-1)^(p-1)/2 = 1[p]


b)Si p valait 3 mod 4, (p-1)/2 serait égal à 1 mod 2, donc il serait impair et (-1)^(p-1)/2 ne pourrait pas être égal à 1[p]. Donc p = 1[4]

7) Les questions 6a) et 6b) donnent des résultats contradictoires car 1 et 3 sont différents mod 4. Donc l'hypothèse de la question 2 était absurde, ce qui prouve que (E) n'dmet aucune solution.

Salut

Merci beaucoup Pour la réponse

Cepedant je ne comprends toujours pas la démo pour la 6)a-
Tu (je te tutoie comme t'as demandé ) as dit que vaut -1 ou 1 [p] et que pour p > 2, 0, 1 , et -1 sont deux à deux distincts dans Z/pZ, on en déduit que
Je ne comprends pas comment l'hypothèse 0, 1 , et -1 sont deux à deux distincts dans Z/pZ garantit le résultat voulu ?

Meerci beaucoup ^^

Je t'en prie.

Il y a deux choses:

1) (-1)^(p-1)/2 vaut 0 ou 1 (mod p) d'après Fermat

2) (-1)^(p-1)/2 vaut -1 ou 1 (mod p) d'après mon calcul


Si un nombre vaut a ou b, mais qu'il vaut aussi c ou b, on peut conclure qu'il vaut forcément b, à condition toutefois que a et c soient différents (sinon il se pourrait que le nombre vaille a = c, mais pas b!). C'est pourquoi je précise que a,b,c sont deux à deux distincts.

(Ici, a = 0, b = 1, c = -1)

En fait on a le premier point d'après mon calcul et Fermat, le deuxième est immédiat puisque (p-1)/2 est un entier!

Salut

Ah j'ai bien compris maintenant ^^

Une derniere chose,est ce qu'on peut dire directement que puisque la force est paire donc on aura 1=1 [p] ?

Merci

Bonsoir
Tigweg dit que d'apres Fermat (-1)^{(p-1)/2} vaut 0 ou 1? Alors la y a quelques chose qui m'achappe justement fermat (ou lagrange) dit precisement que (-1)^{(p-1)/2} vaut 1 ou -1.

Y a une erreur dans ce raisonnement me semble t il.

Salut ^^

Je crois que quand il a écrit d'après fermat ça concernait seulement  x^{p-1}=1[p] car la phrase vient juste après le 1.

Salut Rodrigo,

Fermat te dit que si x n'est pas égal à 0 modulo p, alors x^p-1 vaut 1 modulo p.

Autrement dit, soit x est nul modulo p, auquel cas x^p-1 vaut encore 0 modulo p, soit il ne l'est pas, et dans ce cas il vaut 1 modulo p.

Tu n'es pas d'accord?



sami->

Par ailleurs, Rodrigo, n'oublie pas qu'on part de l'hypothèse que -1 est un carré (celui de x),par conséquent (-1)^(p-1)/2 vaut justement x^p-1, et on enchaîne sur le raisonnement que j'ai indiqué.

Salut

Beh directement on a p impair donc p-1/2 pair alors (-1)^[(p-1)/2]=1 donc 1=1[p]
j'espère que c'est clair maintenant.

Euh non c'est faux ça: pour p = 3 par exemple, (p-1)/2 vaut 1 qui n'est pas pair!

C'est bien pour cela qu'il faut montrer qu'on élimine certaines valeurs de p.

D'accord je vois la faute ^^

Merci

Je t'en prie!