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Arithmétique

Posté par
sami-dh 16-04-09 à 22:12

Salut à tous

Je cherche à résoudre cette question mais j y arrive pas:

Prouver que pour tout n de IN* il y a un p de IN* tel que:

\Large{(3+2\sqrt{2})^n=\sqrt{p}+\sqrt{p-1}

je voudrai quelques indications

Merci d'avance

Posté par
MatheuxMatoure : Arithmétique 16-04-09 à 22:13

bonsoir

petite remarque... mais peut-être inutile... 3+22 est un carré qui "tombe bien" (identité remarquable)

Posté par
sami-dhre : Arithmétique 16-04-09 à 22:25

Salut

Merci pour la réponse

Alors on peut écrire \Large{(1+\sqrt{2})^{2n}=\sqrt{p}+\sqrt{p-1}

Mais ça n'avance pas

merci

Posté par
MatheuxMatoure : Arithmétique 16-04-09 à 22:30

effectivement ! je ne sais pas si cela peut servir !

il doit y avoir une astuce, mais là je ne vois pas... je cherche.

Posté par
MatheuxMatoure : Arithmétique 16-04-09 à 22:34

partons à l'envers...

en élevant au carré, puis en isolant le double produit avec les racines , et en élevant à nouveau au carré... j'ai l'impression qu'on trouve un truc intéressant (sauf erreur)

on va appeler A=1+2

Posté par
MatheuxMatoure : Arithmétique 16-04-09 à 22:37

si on appelle B=2 - 1

j'ai l'impression qu'il suffit de montrer que (A2n+B2n)/2 est un entier... et cela doit donner le "p" cherché

Posté par
MatheuxMatoure : Arithmétique 16-04-09 à 22:40

sauf erreur ou omission de ma part, on trouve

p= (q variant de 0 à n) [combinaison de 2q parmi 2n]*2q

alain

Posté par
cailloux Correcteurre : Arithmétique 16-04-09 à 23:06

Bonsoir à tous,

On peut montrer que (3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2} avec:

\{a_{n+1}=3a_n+4b_n\\b_{n+1}=2a_n+3b_n

Puis que pour tout n\in\mathbb{N}^*, a_n^2-2b_n^2=1...

Posté par
MatheuxMatoure : Arithmétique 16-04-09 à 23:09

excuse cailloux, mais je ne vois pas comment cela mène à la réponse cherchée.

je crois que ma remarque de 22:34 mène au résultat.

alain

Posté par
cailloux Correcteurre : Arithmétique 16-04-09 à 23:14

Peut-être, mais 23h06 y mène aussi :

Avec a_n^2-1=2b_n^2:

(3+2\sqrt{2})^n=a_n+b_n\sqrt{2}=\sqrt{a_n^2}+\sqrt{2b_n^2}=\sqrt{a_n^2}+\sqrt{a_n^2-1}

bref, p=a_n^2

Posté par
MatheuxMatoure : Arithmétique 16-04-09 à 23:20

ah oui, c'est pas mal ça... j'avais pas tout compris ! (il se fait tard )

bravo Cailloux... je trouve ta méthode plus belle que la mienne..

et en fait p est un carré, ce qui est difficile à voir dans la mienne.

En calculant a(n) par ta méthode et avec un petit coup matriciel, on doit avoir une belle formule en identifiant ensuite son carré avec mon expression de p (si mon expression est juste !)

alain

Posté par
sami-dhre : Arithmétique 16-04-09 à 23:20

Ah je vois

Merci beaucoup les gars pour vos réponses vous m'avez vraiment aidé

A+

Posté par
MatheuxMatoure : Arithmétique 16-04-09 à 23:22

pas de quoi, ce fût un plaisir,

alain

Posté par
cailloux Correcteurre : Arithmétique 16-04-09 à 23:26

De rien pour moi sami-dh

Posté par
cailloux Correcteurre : Arithmétique 17-04-09 à 13:54

Re,

>> MatheuxMatou

Citation :
En calculant a(n) par ta méthode et avec un petit coup matriciel, on doit avoir une belle formule en identifiant ensuite son carré avec mon expression de p


J' ai fait le petit coup matriciel:

3$p=\frac{1}{4}\left[(17-12\sqrt{2})^n+(17+12\sqrt{2})^n+2\right]

L' autre membre est pour toi...

Posté par
MatheuxMatoure : Arithmétique 17-04-09 à 18:23

Merci Cailloux... je n'ai pas le courage de me taper le petit coup matriciel...

et donc cela serait égal à \sum_{q=0}^{q=n}\(2n\\2q\)2^q

si mon raisonnement et la formule sont bons...

cela me paraît un peu curieux !

tu as vérifié mon résultat Cailloux (quand même, j'abuse)

MM

Posté par
cailloux Correcteurre : Arithmétique 17-04-09 à 19:16

J' avais des doutes mais tu étais dans le vrai.

En fait, après vérification, ta somme vaut mon a_n=\sqrt{p}; bref, on peut écrire pour n\in\mathbb{N}^*:

3$\Bigsum_{q=0}^n\left(2n\\2q\right)2^q=\frac{1}{2}\left[(3-2\sqrt{2})^n+(3+2\sqrt{2})^n\right]

Très joli

Posté par
MatheuxMatoure : Arithmétique 17-04-09 à 19:18

merci d'avoir vérifié.

Oui, cela jette comme formule... amusant comme exo !


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