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Arithmétique, décomposition d'entiers naturels
bonjour
mon prof nous a donné un dm dans lequel il y a un exo que je trouve très difficiel. je vous donne l'enoncé:
1) pour tout entier naturel n 
5, il existe un triplet (a,b,c) d'entiers naturels tels que n = 3a + 5b + 7c.
2) le triplet (a,b,c) est il unique?
je trouve cet exo vraiment difficile pour une TS et je n'ai aucune idee de comment demontrer cela.
si vous avez des idées ou des pistes, je suis preneur.....
je vous remercie beaucoup par avance
jonathan
Bonjour jonathan,
Déjà tu peux répondre à la 2) très facilement en prenant un nombre un peu au hasard.
(Indication : Trouver deux triplets différents pour n=10)
Bonjour,
je verrais bien ça comme ça :
prouver que tout nombre n 8 peut s'écrire n = 3a + 5b
(pas facile mais faisable)
en effet le problème avec seulement deux valeurs de timbres/pièces est entièrement étudié et on sait que si on a les valeurs A (=3) et B (=5) la valeur la plus grande non représentable est AB - A - B = 15 - 3 - 5 = 7
chercher "Frobenius", "coin problem" etc devrait donner des démonstrations.
et par conséquent ici toutes les valeurs 8 sont représentables avec c = 0
il reste à étudier donc les cas de n = 5, 6 et 7 pour lesquels il n'est pas difficile d'exhiber des valeurs de a, b, c.
salut
on peut remarquer que ::
3a + 5b + 7c = 3(a - 1) + 5(b + 2) + 7(c - 1) = 3(a + 1) + 5(b - 2) + 7(c + 1)
d'ailleurs on peut généraliser sous réserve que les coefficients de 3, 5 et 7 soient positifs
3a + 5b + 7c = 3(a - k) + 5(b + 2k) + 7(c - k) = 3(a + k) + 5(b - 2k) + 7(c + k)
il suffit alors de le prouver pour les entiers de 5 à 20
ensuite par récurrence on le montre pour les suivants ....
plus précisément ::
si n = 3a + 5b + 7c alors n + 10 = 3(a + 1) + 5b + 7(c + 1) = 3a + 5(b + 2) + 7c
...
ce qui montre au passage 2/ ...
Slt carpediem,
ta démonstration n'est pas claire
ou alors c'est juste pour la question 2 ?
pour la question 1, de la littérature sur wikipedia : 
salut mathafou ... oui jem' doutais ... la récurrence était trop implicite dans la première égalité ...
j'ai donc préféré expliciter ...
soit P(n) la propriété : il existe a, b, et c tels que n = 3a + 5b + 7c
alors
si n = 3a + 5b + 7c alors n + 10 = 3(a + 1) + 5b + 7(c + 1) = 3a + 5(b + 2) + 7c
il suffit donc d'initialiser pour les entiers de 5 à 20
...
de 2 façons pour répondre à la question 2/
quand on fait une récurrence il faut bien initialiser ....
parce que ma récurrence passe de n à n + 10 donc il faut initialiser sur les 10 premiers termes au moins ... (en fait de 5 à 15 ça suffit effectivement) ....
ayant prouvé que si on peut décomposer n, alors on peut décomposer n+10 il faut bien initialiser avec 9 valeurs consécutives de n ...
en en exhibant 16 consécutives (de 5 à 20) on a même de la marge ...
de 5 à 14 inclus suffit car alors 5+10 = 15 est garanti
de même que 6+10 = 16 etc ...
en fait la relation
n = 3a + 5b + c 
n+3 = 3(a+1) + 5b + c suffit
et du coup il suffit de trouver 3 valeurs consécutives de n qui marchent ...
c'est à dire d'exhiber les décompositions de 5, 6 et 7
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