Bonjour,
je bloque sur un enoncé qui d'apparence me paraissait pas dur mais qui me pose bien des soucis. Si vous avez quelques pistes, merci.
Soit z un complexe de module 1.
Soit a_i un ensemble de réels compris entre 0 et 1 et z_i de nbs complexes de module 1 tels que
z= Somme (a_i.z_i)
Montrer que si a_i<>0 alors z=z_i nécessairement.
Géométriquement, ca se voit bien en posant les points sur le cercle trigo.
Pour le cas de deux points seulement, j'arrive à montrer le résultat (soit géométriquement avec les vecteurs, soit et c'est equivalent avec les affixes) mais il me semble qu'il y a plus simple.
Pour le cas général, je sèche un peu.
Merci pour votre aide.
Olivier
Oui bien sur tu as raison, j'ai oublié : il y a bien un nb fini de a_i (et de z_i) et la somme des a_i vaut 1. z est alors le barycentre des z_i pondéré par a_i.
Tu as une piste ?
Géométriquement ca me parait tellement évident, que je suis étonné meme dans le cas de 2 points d'avoir à sortir une démo un peu longuette pour obtenir z-z1=0. En fait je montre en premier que z1-z2=0 puis forcément z=z1=z2. Pour cela, je pars de la relation module(z)=1 et je développe en fonction de z1 et z2 pour aboutir à la relation z1 ce qui implique par suite que module(z1-z2)=0.
J'aurai espéré une manière plus "simple" pour avoir z-z1=0.
Et dans le cas général, j'essaye de me ramener au cas de deux points avec un barycentre partiel mais ca semble pas la bonne voie.
Merci pour votre aide.
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