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Barycentre et nbs complexes

Posté par
octintin
07-05-09 à 19:27

Bonjour,

je bloque sur un enoncé qui d'apparence me paraissait pas dur mais qui me pose bien des soucis. Si vous avez quelques pistes, merci.

Soit z un complexe de module 1.
Soit a_i un ensemble de réels compris entre 0 et 1 et z_i de nbs complexes de module 1 tels que
z= Somme (a_i.z_i)

Montrer que si a_i<>0 alors z=z_i nécessairement.

Géométriquement, ca se voit bien en posant les points sur le cercle trigo.
Pour le cas de deux points seulement, j'arrive à montrer le résultat (soit géométriquement avec les vecteurs, soit et c'est equivalent avec les affixes) mais il me semble qu'il y a plus simple.
Pour le cas général, je sèche un peu.

Merci pour votre aide.

Olivier

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Barycentre et nbs complexes 08-05-09 à 00:13

Je crois que tu as oublié de préciser que \{a_i\} est fini et que \Bigsum a_i=1 sauf erreur bien entendu

Posté par
octintin
re : Barycentre et nbs complexes 08-05-09 à 08:04

Oui bien sur tu as raison, j'ai oublié : il y a bien un nb fini de a_i (et de z_i) et la somme des a_i vaut 1. z est alors le barycentre des z_i pondéré par a_i.
Tu as une piste ?
Géométriquement ca me parait tellement évident, que je suis étonné meme dans le cas de 2 points d'avoir à sortir une démo un peu longuette pour obtenir z-z1=0. En fait je montre en premier que z1-z2=0 puis forcément z=z1=z2. Pour cela, je pars de la relation module(z)=1 et je développe en fonction de z1 et z2 pour aboutir à la relation z1\overline{z2}+overline{z1}z2=2 ce qui implique par suite que module(z1-z2)=0.
J'aurai espéré une manière plus "simple" pour avoir z-z1=0.
Et dans le cas général, j'essaye de me ramener au cas de deux points avec un barycentre partiel mais ca semble pas la bonne voie.

Merci pour votre aide.

Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Barycentre et nbs complexes 08-05-09 à 22:34

Une idée :

En partant de 4$\fbox{z=\Bigsum_{i=1}^na_iz_i\;\;,\;\;n\ge2\\|z|=|z_1|=...=|z_n|=1\\a_1,...,a_n\ge0\;,\;a_1+...+a_n=1}

essayes de montrer que 5$\fbox{|z|^2-\left|\Bigsum_{i=1}^n\;a_iz_i\right|^2=2\Bigsum_{1\le i<j\le n}\;a_ia_j\left(1-\scr Re(z_i\bar{z_j})\right)} sauf erreur bien entendu

Posté par
MatheuxMatou
re : Barycentre et nbs complexes 08-05-09 à 23:00

(elhor... toujours champion du LateX...)

mm

Posté par
octintin
re : Barycentre et nbs complexes 10-05-09 à 10:09

Merci pour ta piste, je l'ai pas développé mais j'arrive à une condition similaire à la tienne en développant z\overline{z} :
\sum_{i<j} a_i a_j cos(\theta_i-\theta_j)=0
Ce qui implique si ai et aj sont différents de zero, z_i=z_j.

Merci,
Olivier



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