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Barycentre : parallélisme et alignement

Posté par
tortue
08-10-08 à 22:40

Bonsoir

Je demande un peu d'aide pour cet exercice:ABC est un triangle, G est le barycentre de (A,),(B(),(C,),++0
est la droite passant par A et parallèle à(BC). O désigne le milieu de [BC]
1 Démontrer l'affirmation suivante : "dire que G est un point de ,équivaut à dire que +=0"

2  On suppose que =2,=1,=-1

a) Justifier que (BG) coupe (AC) en un point J et que (CG) coupe (AB) en un point I.

b) Démontrer que les points O,I,J sont alignés

Pour 1 il faut montrer les 2 implications G +=0  si G alors k tel que GA = k BC (en vecteur)En partant de la définition du barycentre et en remplaçant GA par k BC, peut-on arriver à le démontrer ?
Pour 2)a  peut-on passer par le trapèze GABC ?(diagonales et intersection des côtés non parallèles ?
Quant au b) je n'ai rien trouvé
merci

Posté par
tortue
re : Barycentre : parallélisme et alignement 09-10-08 à 08:26

un petit coup de pouce SVP Merci

Posté par
tortue
re : Barycentre : parallélisme et alignement 09-10-08 à 10:14

pour le 2 b) j'ai démontré que
G milieu de [BJ] et A milieu de [JC] du triangle BCJ puis comme
{[JO] était la 3ème médiane du triangle JBC donc passe par I.
C'est valable ?

Posté par
cailloux Correcteur
re : Barycentre : parallélisme et alignement 09-10-08 à 11:50

Bonjour,

Pour la 1), tu peux regarder ici: Barycentre/centre d'inertie

Posté par
cailloux Correcteur
re : Barycentre : parallélisme et alignement 09-10-08 à 12:09

2) On a a=2, b=1,c=-1

Supposons que (BG)//(AC)

d' après 1), a+c=0 ce qui est manifestement faux.

donc (BG) et (AC) sont sécantes en I

Même raisonnement pour (CG) et (AB) sécantes en J

Posté par
cailloux Correcteur
re : Barycentre : parallélisme et alignement 09-10-08 à 12:20

2)b) On peut démontrer que:

I barycentre de \{(A,2),(B,1)\}

J barycentre de \{(A,2);(C,-1)\}

Considérons le barycentre K de \{(I,2);(J,-1)\}

Par associativité, on peut écrire:

K barycentre de \{(A,2);(B,1);(A,-2);(C,1)\}

Soit K barycentre de \{(B,1);(C,1)\}

Donc K, milieu de [BC], est en 0 et O,I,J sont alignés.

Posté par
tortue
re : Barycentre : parallélisme et alignement 09-10-08 à 14:24

Merci beaucoup Cailloux de ton aide. Mais je ne comprends pas comment tu détermines K par bar de (I;2) (J,-1).

Posté par
cailloux Correcteur
re : Barycentre : parallélisme et alignement 09-10-08 à 14:40

Re,

Evidemment, ça fait un peu parachuté (et pas doré)

Par exemple, j' ai fait un petit dessin et j' ai conjecturé que IJ=2IK

C' est à dire K (ou O) barycentre de \{(I,2);(J,-1)\}

Conjecture démontrée ensuite...
Barycentre : parallélisme et alignement

Posté par
tortue
re : Barycentre : parallélisme et alignement 09-10-08 à 15:11

OK
En fait dans  mon raisonnement je suis passée par les médianes
j'ai dit que G bar de A(2), B(1), C(-1) donc 2GA +GB-GC=0 (en vecteur)
J'introduis le point O  :
2GA + GO +OB -GO-OC =0
soit 2GA +OB-OC =0
       2GA +CB =0
         GA = 1/2BC

Dans le triangle JBC  ensuite j'applique Thalès JG/JB =JA/JC = GA/BC =1/2 Donc G milieu de JB, A mileu de JC donc [BA] et [GC] médiane du triangle BJC et se coupent en I, centre de gravité du triangle, donc [JO],troisième médiane passe par I

Je n'ai pas raisonné "barycentriquement parlant" et je voulais savoir si mon raisonnement était valable.

Merci encore

Posté par
cailloux Correcteur
re : Barycentre : parallélisme et alignement 09-10-08 à 15:17

Ton raisonnement est parfaitement valable.

Au reste, ton exercice est axé sur les barycentres; je pense qu' il est préférable (mais pas indispensable) de démontrer l' alignement de 3 points en prouvant que l' un est barycentre des 2 autres.

Mais, je le répète, tu as tout juste!

Posté par
tortue
re : Barycentre : parallélisme et alignement 09-10-08 à 15:30

Merci encore de ton aide
tortue

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