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Base et sous-espace vectoriel
Voila l'exercie :
Dans l'espace 
[X], déterminer une base du sous-espace vectoriel suivant :
E = { P 
[X]; P(X) = P(-X)}.
Je trouve par "instinct" que {(X², X4, ..., X2n} (n 
) est une famille génératrice de E.
(Car si P(X) = X2n, P(-X) = (-X)2n = (-1)2n.(X)2n = X2n = P(X)).
Mais je n'arrive pas à faire la suite (dois-je montrer uniquement que cette famille est libre? et comment montrer que les 
i = 0?).
Et je ne pense pas que ma rédaction soit très correcte.
Donc merci à tous de m'aider!
Chloé
ta famille génératrice ne s'arrête pas à X2n... et l'instinct ne suffit pas à démontrer qu'elle est génératrice !
Je me doute bien, c'est pour cela que je demande de l'aide sur un forum, sinon j'aurais directement rédigé cela sur ma feuille d'exercice et j'aurais fermé mes cours de maths pour la journée.
tu as bien démontré que ces polynômes sont dans E...
que ce soit une famille libre est trivial car c'est une famille extraite d'une famille libre (théorème du cours) qui est celle des {Xk ; k} et qui est la base canonique de [X]
mais il te faut démontrer qu'ils engendrent E
si je met :
P(X) = a0+a1X²+a2X4+a3X6+...+anX2n on en déduit que {X², X4, X6, ..., X2n} est génératrice de E, puis que cette famille est libre (d'après le cours donc!).
Donc cette famille est une base de E.
ça marche, ou pas?
qu'est-ce qui te permet d'affirmer qu'un élément de E a cette tête là ???
a priori, un élément de E vérifie :
P(X)=a0+a1X+a2X²+ ... + an-1Xn-1+anXn
et P(X)=P(-X)
...
Je pensais que les termes de la forme aiXi, avec i un nombre entier impaire, s'annulaient du fait que P(X) = P(-X).
Bon, je recommence, si P(X) = P(-X) alors
a0+a1X+a2X²+ ... + an-1Xn-1+anXn = a0-a1X+a2X²+ ... + (-1)n-1an-1Xn-1+(-1)nanXn
donc on a ai = 0 quand i est impaire.
Après je ne vois pas ce que l'on peut faire...
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