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Bases
Bonsoir!
Soit V un K-espace vectoriel, U
V un sous espace vectoriel, et x1,...,xm
U une base.On ajoute la base x1,...,xmV.
Il faut montrer que [x(m+1)],[x(m+2)],...,[xn]V/U formen une base.
Ce que j'ai fait:
on a UV donc <x1,...,xm,x(m+1),...,xn>V. Les vecteurs dans V/U sont les classes d'équivalence [x]V.Pour ceci on écrit aussi:
x+U=[x].L'élément neutre 0 V/U est alors 0=[0]=0+U=0, on a donc:
(m+1)*(x(m+1)+U)+...+n*(xn+U)=0 ce qui nous donne:
(m+1)*x(m+1)+...+n*xn=0
ca suffit pour dire que [x(m+1)],[x(m+2)],...,[xn] sont linéairement indépendants?
en plus on sait que dim(V/U)=dim(V)-dim(U)=n-m en plus on a dans:[x(m+1)],[x(m+2)],...,[xn] n-m éléments donc il s'agit d'une base? c est juste comme ca ou pas?
Merci d'avance de votre aide!
Bonjour,
il y a une erreur d'énoncé: je pense que tu veux dire qu'on complète en la base ?
Dans ce cas, ton raisonnement n'est pas tout-à-fait juste:
en effet, la classe de 0, c'est U et non 0, donc la dernière ligne de ton deuxième paragraphe doit être remplacée par .
Cette expression peut donc s'écrire en fonction des vecteurs de la base choisie dans U, et en mettant tout à gauche on obtient que tous les coefficients sont nuls, en particulier ceux qui nous intéressent.
La famille est donc libre et de cardinal
dans l'espace quotient, qui est de dimension
, et c'en est donc une base.
danke schön!
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