Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Maths sup
Partager :

bijection, surjection, injection [analyse]

Posté par
Flou62
02-01-09 à 11:53

Tout d'abOrd bonjour [ et bOnne année 2oo9 ]

Alors j'aurais besoin de votre aide pour résoudre un petit exercice.



1)a) Etudier la fonction f définie par f(x)= x3+x+sin(x)+1


Cette étude de fonctionne ne m'a pas posé de problème

b) Etudier l'existence, la continuité, les variations, la dérivabilité de f-1

Là j'ai des doutes, car je ne sais pas si je dois définir la fonction f-1, l'existence et la continuité je l'ai grâce au tableau de variation de f(x) mais pour le reste je ne sais pas.

2) On définit g : R²--> R² par g(x;y)=(x+3 y;f(x-y))
g est elle injective ? bijective ? surjective ?
Le cas échéant exprimer g-1, éventuellement en fonction de f-1

Là je ne comprend plus rien du tout, j'espère que quelqu'un pourra m'aider.


Merci d'avance

Posté par
Drysss
re : bijection, surjection, injection [analyse] 02-01-09 à 12:04

f strictement croissante sur R

lim -oo f =-oo
lim +oo f = +oo
Bij de R dans R. donc f-1 existe.
f est continue donc f-1 est continue.
Pour démontrer la croissance, tu reviens à la def en contraposant.

Soit x,y tel que x>y.
On suppose f-1(x) f-1(y)
donc f(f-1(x))f(f-1(y)).
Cela est absurde blabla.
donc f-1 strictement croissante
f'(x) different de 0 partout.
Donc f-1 est dérivable sur R.

2) C'est quoi le ; entre y et f(x-y).

Posté par
Flou62
re : bijection, surjection, injection [analyse] 02-01-09 à 12:31

2) On définit g : R²--> R² par g(x;y)=(x+3y;f(x-y))
g est elle injective ? bijective ? surjective ?
Le cas échéant exprimer g-1, éventuellement en fonction de f-1

g(x;y)=(x+3y;f(x-y)) est la fonction g le point virgule sépare x+3y et f(x-y)

mon énonce est comme cela, je ne peux t'en dire davantage

En tout cas merci pour le 1) je vais retravailler cela =)

Posté par
Drysss
re : bijection, surjection, injection [analyse] 02-01-09 à 13:38

Ah oui, je suis bête ^^. On va revenir à la définition de la bijectivité : si xy alors f(x)f(y).

Soit x,y,v,w 4 tel que (x,y) (v,w)

On suppose g(x,y)=g(u,w). On obtient :
x+3y=u+3w
x-y=u-w donc x=y+u-w
donc y+u-w+3y=u+3w donc y=w
donc x=y. cela est absurde.

Donc g est bijective

Soit z,w2
Soit x,y 2


g(x,y)=(z,w) z=x+3y et w=f(x-y) z=x+3y et f-1(w)=x-y x=1/4 *(z+3f-1(w)) et y=1/4 * (z-f-1(w)).

J'ai fait un pivot de gauss pour le dernier equivaut

Donc g-1 : (x,y) -> (1/4 *(x+3f-1(y));1/4 * (x-f-1(w)))

Posté par
Drysss
re : bijection, surjection, injection [analyse] 02-01-09 à 13:41

arf, j'ai fait une erreur, j'ai prouvé seulement l'injectivité dans la premiere partie et en plus j'ai fait quelque chose d'inutile.

Si on ne fait que la deuxieme partie, on prouve tout à la fois...  Et c'est beaucoup plus simple.

Posté par
Flou62
re : bijection, surjection, injection [analyse] 02-01-09 à 15:08

Je ss désolée, mais cela va un peu trop vite pour moi.

Comment doit on faire pour montrer que g est injective ? bijective ? surjective ?


Et comment tu as fais pour exprimer g-1 ?


merci d'avance

Posté par
Drysss
re : bijection, surjection, injection [analyse] 02-01-09 à 15:11

Et bien pour montrer une bijection (tu fais le tout à la fois, car une fonction bijective est inj et surj), tu as une méthode toute simple :
Soit x
Soit y
f(x)=y.... ... x= G(y)

En montrant ca, tu prouves a la fois la bijectivité et tu trouves la fonction réciproque de f qui est G.

Le probleme est que ce schéma est qqf inapplicable car trop compliqué. Donc on utilise d'autre th, d'autre maniere.
Là tout va bien donc j'ai fait ca.

Posté par
Flou62
re : bijection, surjection, injection [analyse] 02-01-09 à 15:14

g(x,y)=(z,w)  z=x+3y et w=f(x-y)  z=x+3y et f-1(w)=x-y

la je comprend mais après qu'est ce que tu fais pour x=1/4 *(z+3f-1(w)) et y=1/4 * (z-f-1(w)).

et qu'est ce que cela signifie pivot de gauss ?

Posté par
Drysss
re : bijection, surjection, injection [analyse] 02-01-09 à 15:18

bah t'as un systeme d'équations à deux inconnues : x et y (faut bien reperer ce que sont les inconnues ) donc tu peux faire par combinaison, substitution ou pivot de Gauss.
Le pivot de Gauss est vu en sup, tu n'as surement pas encore fait ce chapitre, mais ca viendra .

Posté par
Flou62
re : bijection, surjection, injection [analyse] 02-01-09 à 15:20

hummm d'accord

Je vais essayer de voir avec les pistes que tu m'as donné même si la ça reste un peu flou au niveau de la rédaction car je vois pas les étapes que tu as fais.

C'est gentil de m'avOir aidé.
Bonne fin d'aprem



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !