Tout d'abOrd bonjour [ et bOnne année 2oo9 ]
Alors j'aurais besoin de votre aide pour résoudre un petit exercice.
1)a) Etudier la fonction f définie par f(x)= x3+x+sin(x)+1
Cette étude de fonctionne ne m'a pas posé de problème
b) Etudier l'existence, la continuité, les variations, la dérivabilité de f-1
Là j'ai des doutes, car je ne sais pas si je dois définir la fonction f-1, l'existence et la continuité je l'ai grâce au tableau de variation de f(x) mais pour le reste je ne sais pas.
2) On définit g : R²--> R² par g(x;y)=(x+3 y;f(x-y))
g est elle injective ? bijective ? surjective ?
Le cas échéant exprimer g-1, éventuellement en fonction de f-1
Là je ne comprend plus rien du tout, j'espère que quelqu'un pourra m'aider.
Merci d'avance
f strictement croissante sur R
lim -oo f =-oo
lim +oo f = +oo
Bij de R dans R. donc f-1 existe.
f est continue donc f-1 est continue.
Pour démontrer la croissance, tu reviens à la def en contraposant.
Soit x,y tel que x>y.
On suppose f-1(x) f-1(y)
donc f(f-1(x))f(f-1(y)).
Cela est absurde blabla.
donc f-1 strictement croissante
f'(x) different de 0 partout.
Donc f-1 est dérivable sur R.
2) C'est quoi le ; entre y et f(x-y).
2) On définit g : R²--> R² par g(x;y)=(x+3y;f(x-y))
g est elle injective ? bijective ? surjective ?
Le cas échéant exprimer g-1, éventuellement en fonction de f-1
g(x;y)=(x+3y;f(x-y)) est la fonction g le point virgule sépare x+3y et f(x-y)
mon énonce est comme cela, je ne peux t'en dire davantage
En tout cas merci pour le 1) je vais retravailler cela =)
Ah oui, je suis bête ^^. On va revenir à la définition de la bijectivité : si xy alors f(x)f(y).
Soit x,y,v,w 4 tel que (x,y) (v,w)
On suppose g(x,y)=g(u,w). On obtient :
x+3y=u+3w
x-y=u-w donc x=y+u-w
donc y+u-w+3y=u+3w donc y=w
donc x=y. cela est absurde.
Donc g est bijective
Soit z,w2
Soit x,y 2
g(x,y)=(z,w) z=x+3y et w=f(x-y) z=x+3y et f-1(w)=x-y x=1/4 *(z+3f-1(w)) et y=1/4 * (z-f-1(w)).
J'ai fait un pivot de gauss pour le dernier equivaut
Donc g-1 : (x,y) -> (1/4 *(x+3f-1(y));1/4 * (x-f-1(w)))
arf, j'ai fait une erreur, j'ai prouvé seulement l'injectivité dans la premiere partie et en plus j'ai fait quelque chose d'inutile.
Si on ne fait que la deuxieme partie, on prouve tout à la fois... Et c'est beaucoup plus simple.
Je ss désolée, mais cela va un peu trop vite pour moi.
Comment doit on faire pour montrer que g est injective ? bijective ? surjective ?
Et comment tu as fais pour exprimer g-1 ?
merci d'avance
Et bien pour montrer une bijection (tu fais le tout à la fois, car une fonction bijective est inj et surj), tu as une méthode toute simple :
Soit x
Soit y
f(x)=y.... ... x= G(y)
En montrant ca, tu prouves a la fois la bijectivité et tu trouves la fonction réciproque de f qui est G.
Le probleme est que ce schéma est qqf inapplicable car trop compliqué. Donc on utilise d'autre th, d'autre maniere.
Là tout va bien donc j'ai fait ca.
g(x,y)=(z,w) z=x+3y et w=f(x-y) z=x+3y et f-1(w)=x-y
la je comprend mais après qu'est ce que tu fais pour x=1/4 *(z+3f-1(w)) et y=1/4 * (z-f-1(w)).
et qu'est ce que cela signifie pivot de gauss ?
bah t'as un systeme d'équations à deux inconnues : x et y (faut bien reperer ce que sont les inconnues ) donc tu peux faire par combinaison, substitution ou pivot de Gauss.
Le pivot de Gauss est vu en sup, tu n'as surement pas encore fait ce chapitre, mais ca viendra .
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