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Niveau maths spé
Blocage sur exo de probas loi binômiale
Posté par KellyCash
Salut à tous 
!
Je suis en école d'ingénieur, et je travaille en ce moment sur un exo de probas sur lequel je bloque un peu. Pourriez-vous m'aider svp ? L'énoncé est le suivant :
Des pièces sont fabriquées par 5 machines. 4 des machines ont un pourcentage de déchets de 2,5% et la cinquième a un pourcentage de déchets de 40%. On ne se rend compte de cela que trop tard, quand toute la production a été recueillie, sans indication de provenance.
1) Calculer la probabilité pour qu'une pièce prise au hasard soit défectueuse.
-> Ici, je pense avoir trouvé. Un calcul assez simple me mène à une réponse de 10%.
2) On note X le nombre de pièces défectueuses dans un stock de N pièces. Définir la loi de X, puis écrire la probabilité que le nombre de pièces défectueuses soit inférieure à un nombre k donné.
-> Je me rends bien compte qu'il s'agit d'une loi binômiale ou d'une loi hypergéométrique, mais comme on ne sait quelle taille d'échantillon on prend, je ne sais pas trop quoi répondre. Pour la deuxième partie de la question, j'imagine qu'il faut sommer les probabilités de X=i pour i<k.
3) On estime que, pour éviter la rupture de stock, il faut au minimum 200 bonnes pièces. Calculer l'effectif N qu'il faudra avoir en stock pour que le risque de rupture de stock soit inférieur à 5%. On justifiera, le cas échéant, la légitimité des approximations utilisées.
-> j'avoue que je ne sais pas trop comment partir ici.
Qu'en pensez-vous ?
Merci pour votre aide !
salut
2/
ben vu la question 3/ on voit bien qu'on reste dans le formel (du moins pour un paramètre)
le nombre de pièces est N
la probabilité qu'une pièce soit défectueuse est .... donnée dans la première question
P(X =< k) s'obtient alors "d'après la formule" ....
3/ au moins 200 bonnes pièces parmi N signifie au plus N - 201 mauvaises pièces ....
et on sait que la valeur théorique donnée en 2/ est inférieure à 5%
on peut donc déterminer N
....
Bonjour,
Merci pour votre réponse !
J'ai bien compris comment il fallait faire pour la question 3.
Cela dit, je ne vois toujours pas comment déduire la loi de X à partir de la première question, pour laquelle on trouve la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse. Il me semblait pourtant que le choix de loi entre la binomiale et l'hypergéométrique se faisait sur le rapport de la taille de l'échantillon et celle de l'effectif total.
Pouvez-vous m'en dire plus ?
Merci!
Citation :
Cela dit, je ne vois toujours pas comment déduire la loi de X à partir de la première question, pour laquelle on trouve la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse.
Pour constituer ton stock de N pièces, tu as dû répéter N fois une expérience aléatoire, avec une probabilité d'occurrence de défaut qui est constante : p = P(défaut) = 10%
Cela dit, je ne vois toujours pas comment déduire la loi de X à partir de la première question, pour laquelle on trouve la probabilité de tomber sur une pièce défectueuse.
Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli de probabilité (de défaut) p=10%, répétée N fois.
Si X compte les défauts observés, X suit donc une loi...
Le nombre X de défauts suit une loi Binomiale( N ; p=10% )
Donc X suit approximativement une loi Normale( m=Np=0.1N ; s²=Np(1-p)=0.09N )
Donc Z = (X - m)/s suit approximativement Normale( 0 ; 1 ) : loi normale standard
Donc P(Z>1.645) = 5%
Donc P(X > m + 1.645 s) = 5% avec m = 0.1 N et s² = 0.09 N
On veut N - X > 200 assuré à 95%
Ce qui conduit à une petite équation pour trouver le N qui convient...
On trouve en principe qu'il faut au minimum N* = 231 pièces en stock pour garantir à 95% qu'au moins 200 seront correctes (c'est à dire avec au plus X = 31 défauts).
on peut même ne pas passer par une loi normale pour trouver N ...
il suffit de chercher quand B(n,; 0,1, n - 201) devient inférieur à 5% ... avec un tableur ... ou un programme ....
Effectivement, l'énoncé dit "le cas échéant" (pour l'approximation)...
Je recommande évidemment de tester les différentes méthodes pour se mettre en confiance .
Merci à vous pour vos réponses !
Je crois avoir bien tout compris maintenant. En résumé, c'est parce que la probabilité trouvée à la première question est constante qu'on peut dire que X suit une loi binômiale. Si cette probabilité variait, alors X suivrait une loi hypergéométrique. C'est bien cela ?
Citation :
En résumé, c'est parce que la probabilité trouvée à la première question est constante qu'on peut dire que X suit une loi binomiale.
Absolument.
En résumé, c'est parce que la probabilité trouvée à la première question est constante qu'on peut dire que X suit une loi binomiale.
Ce qui fait qu'on a une expérience de Bernoulli répétée, et donc le nombre d'issues d'un même type (ici le défaut), suit une loi binomiale.
Citation :
Si cette probabilité variait, alors X suivrait une loi hypergéométrique. C'est bien cela ?
En général non.Si cette probabilité variait, alors X suivrait une loi hypergéométrique. C'est bien cela ?