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Niveau Maths sup
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borne supérieur

Posté par
medomar
25-08-16 à 00:31

Bonsoir,
une autre fois bloquer sur un exercice classique
est le suivant:
Montrer que {x ? Q | x ? 0 et x^2 ? 2} est un ensemble borné qui n?admet pas de borne
supérieure dans (Q, ?)

alors le problème c'est que j'ai pas compris la solution (malheureusement)

solution: http://*.*
page 3/9
ce que j'ai pas compris pourquoi q<\frac{2r}{r^2-2} est une contradiction
veuillez voir le lien et me faciliter la tache s'il vous plait
ca m'a vraiment casser la tête merci d'avance

Posté par
jsvdb
re : borne supérieur 25-08-16 à 01:22

Bonne nuit Medomar,

des insomnies ? moi aussi !

Au début de la démo, r est un objet unique, invariable, défini par p/q pour p et q entier naturels non nuls.
Mais tu sais qu'une fraction n'a pas une écriture unique et donc r= \frac{np}{nq} pour tout entier n non nul.

Donc tu peux grossir le dénominateur de r autant que tu souhaites sans changer r (pour autant que tu grossisses d'autant le numérateur)

Oui ! Sauf qu'on te dit qu'en fait tu peux pas parce que q<\frac{2r}{r^2-2} , et que le membre de droite de l'inégalité est constant, invariable, statufié une fois pour toute en début de démonstration.

Donc à la fois tu as le droit de faire un truc, et dans le même temps t'as pas le droit !

Y'a qu'en maths qu'on voit ça (enfin ! presque) et ça s'appelle une contradiction.

Bon en fait, on résout le truc en disant que c'est l'hypothèse qui n'est pas bonne, savoir, ici, que l'ensemble archi classico-classique  {x ∈ |  x^{2} ≤ 2} n'a pas de borne supérieure.

voili voilou

Posté par
medomar
re : borne supérieur 25-08-16 à 07:23

merci infiniment de m'avoir répondu
j'ai pas bien saisie ce que vous avez dit
car même si q<\frac{2r}{r^2-2} on peut multiplier le dénominateur
et le numérateur
sauf si on considère que Q est tout le dénominateur
considérons un dénominateur Q=nq et un numérateur P=np
et si on trouve Q<\frac{2r}{r^2-2}
alors ce que vous avez dit est vrai
je pense que la rédaction de l'exercice n'est pas précis
juste un raisonnement qui est fort probable faux
veuillez plus m'éclairer cher ami

Posté par
jsvdb
re : borne supérieur 25-08-16 à 10:29

Peux tu me préciser l'élément précis qui te pose problème dans le raisonnement ?

Posté par
etniopal
re : borne supérieur 25-08-16 à 10:55

Suppose que  { x | x² 2 } ait un plus petit élément m et  soient u , v entiers > 0 , premiers entre eux tels que  m = u/v . On a donc m² 2 càd u² 2v² > v² donc u > v .

Soit maintenant n un  entier n > 0 . Comme   (nu - 1)/nv = m - 1/nv < m , on a ( (nu - 1)/nv)² < 2 donc ( (nu - 1)/nv)² 1 donc  (nu - 1)/nv 1 donc n < 1/(u - v) .

Cela prouve que est borné .
Comme ce n'est pas vrai , c'est que { x | x² 2 } n'a pas de plus petit élément .

Posté par
carpediem
re : borne supérieur 25-08-16 à 12:53

salut

Citation :
on a ( (nu - 1)/nv)² < 2 donc ( (nu - 1)/nv)² 1


je ne comprends pas comment tu passes de 2 à 1 ??

Posté par
medomar
re : borne supérieur 25-08-16 à 13:55

bonjour les amis pour etniopal j'ai la même remarque de carpedium
la passage n'est pas clair
pour mon ami jsvdb la chose qui me pose le problème c'est que vous avez
trouver une borne strict supérieur de q pas pour tout le dénominateur
et comme ca on encore l'accès  a multiplier le numérateur et le dénominateur
etniopal a essayé de prouver ce que je suis entrain de dire
mais il n'a pas réussir a juger ses passage
autrement dit il faut trouver que q.n<... pour conclure que c'est tout le dénominateur
pas juste q<..    
je pense !!!!! veuillez m'éclairer s'il vous plait  

Posté par
carpediem
re : borne supérieur 25-08-16 à 14:00

jsvdb a correctement répondu à ce qui est écrit dans le pdf ....

Posté par
medomar
re : borne supérieur 25-08-16 à 14:07

je sais qu'il a raison, c'est moi qui n'a pas compris !!!!

Posté par
medomar
re : borne supérieur 25-08-16 à 14:41

je comprend maintenant
car r=\frac{p}{q}=\frac{np}{nq}=\frac{Q}{P}
donc q ou Q revient en même
merci infiniment jsvdb
aussi un merci pour carpediem et etniopal
et un merci pour moi par ce que j'ai compris l'exercice

Posté par
jsvdb
re : borne supérieur 25-08-16 à 14:57

effectivement, r est fixé, une fois pour toute.
Ses représentants peuvent évoluer.
Mais si le résultat dépend des représentants, c'est mort.

Pour vous en convaincre prenez la correspondance suivante :

:
(r) = p + q
où p est un entier relatif, q un entier strictement posif et r = p/q

Il va falloir se lever de bonne heure pour démontrer en moins de 24 heures que est une application de dans



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