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Calcul d'arête dans une pyramide

Posté par
pierre42
18-09-12 à 20:45

Bonjour,

Je cherche à calculer la longueur de la 4e arête d'une pyramide à base rectangulaire, connaissant la longueur des 3 autres.
J'ai essayé avec le théorème de Thalès mais ça ne me paraît pas possible.
Auriez-vous une idée d'une méthode appropriée ?

Bien cordialement,
édit Océane : forum modifié

Posté par
verdurin
re : Calcul d'arête dans une pyramide 18-09-12 à 21:23

Bonsoir,
Pythagore devrait t'aider.

Posté par
pierre42
re : Calcul d'arête dans une pyramide 18-09-12 à 22:53

je n'ai un angle droit que dans la base qui est un rectangle, je ne vois pas comment je pourrais l'utiliser pour le calcul des arêtes ?

Posté par
verdurin
re : Calcul d'arête dans une pyramide 18-09-12 à 23:37

En fait ton problème n'est pas bien défini.
Est ce que tu connais les côtés du rectangles ?
De façon générale, il faut utiliser la projection orthogonale du sommet de la pyramide sur la base.

Posté par
rogerd
Pyramide 19-09-12 à 00:18

Bonsoir

Il s'agit bien d'une pyramide oblique?

Posté par
pierre42
re : Calcul d'arête dans une pyramide 19-09-12 à 00:21

oui elle est oblique

Posté par
plumemeteore
re : Calcul d'arête dans une pyramide 19-09-12 à 02:57

Bonjour.
Soit P le pied de la hauteur dans la base rectangulaire ABCD.
Il est facile de démontrer que PA²+PC² = PB²+PD².
En ajoutant à chacun de ses termes le carré de la hauteur, on trouve que la somme des carrés de deux arêtes opposées est égale à la somme des carrés des deux autres arêtes.
Trois solutions selon l'arête opposée à l'arête inconnue.

Posté par
mathafou
re : Calcul d'arête dans une pyramide 19-09-12 à 03:25

Bonsoir,

à défaut de calcul, une construction géométrique de la 4ème arète SD = d, d'une pyramide à base rectangulaire de dimensions u et v (qui doivent bien entendu être connues, sinon le pb est insoluble = indéterminé), et connaissant les 3 arètes SA = a, SB = b, SC = c
Calcul d'arête dans une pyramide

Cette construction construit le patron (en vert) et la projection orthogonale (en rouge) sur la base.
Le patron donne les faces en vraie grandeur, donc la mesure en vraie grandeur de l'arête inconnue d.

La pyramide n'est réelle que si les triangles "en projection" sont plus petits que les triangles en vraie grandeur (d'où les "points de test" S'K etc)
La construction n'est pas détaillée, mais assez intuitive et évidente.

On devrait pouvoir transformer cette construction en calcul ...

Posté par
mathafou
re : Calcul d'arête dans une pyramide 19-09-12 à 03:29

Bien vu, plumemeteore

et cela montre que même si on ne sait pas construire la pyramide, cette 4ème arête est calculable sans connaitre les dimensions u et v !
(qui sont bien indéterminées, mais on ne les demande pas de toute façon ...)

Posté par
dpi
re : Calcul d'arête dans une pyramide 19-09-12 à 08:51

Bonjour

Comme mathafou je te conseille un "patron"
tournant
Soit le rectangle ABCD et le sommet S

tu connais AB =CD et BC=DA
et aussi  AS BS et CS

donc trace ASB et SBC  un cercle de centre C et de rayon CD
et un cercle de centre S et de rayon AD.
le point D sera à l'intersection de ces deux cercles et donc
tu auras facilement la distance DS qui est  le 4 ème coté

Posté par
dpi
re : Calcul d'arête dans une pyramide 19-09-12 à 09:06

>pierre 42
Excuses
Le deuxième cercle est de centre A (rayon AD) et non S

Posté par
mathafou
re : Calcul d'arête dans une pyramide 19-09-12 à 10:10

Bonjour dpi,

Citation :
tu connais AB =CD et BC=DA
ils ne sont pas dans l'enoncé !!
donc non, on ne connait pas
C'est en cela que réside la beauté de la solution de plummeteore : on n'a pas besoin de connaitre la base pour calculer la 4ème arète !!

Posté par
dpi
re : Calcul d'arête dans une pyramide 19-09-12 à 12:05

Tout à fait

Posté par
fontaine6140
re : Calcul d'arête dans une pyramide 19-09-12 à 13:15

Bonjour,

Pour en connaître plus sur le théorème énoncé par plumemeteore,
voir le théorème du drapeau britannique

Posté par
mathafou
re : Calcul d'arête dans une pyramide 19-09-12 à 13:42

ce théorème faisait l'objet d'un DM très récent sur

Posté par
pierre42
re : Calcul d'arête dans une pyramide 19-09-12 à 22:13

merci beaucoup, effectivement avec le théorème du Drapeau Britannique ça devient enfantin,
on rajoute les hauteurs au carré,

et la solution est alors d² = b² + c² - a²

merci à tous,

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