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Calcul d intégrale

Posté par mattrisse (invité) 02-12-05 à 10:55

Bonjour,
Alors voila, je dois calculer l'intégrale de 0 à l'infini de (sin(ax))/x.

J'ai essayé de poser x= arctan(t), mais ça ne donne rien de bon... En intégrant par parties, rien non plus... La seule info q j'ai, c'est que l'intégrale de sinx/x de 0 à pi/2 est égale à pi/2.

Help!

Merci d'avance!

Posté par
piepalm
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 12:35

pose déjà X=ax...

Posté par mattrisse (invité)re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 12:36

oui, ça je l'ai fait, tu obtiens intégrale de sint/t... et apres?

Posté par
Bourricot
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 12:53

Bonjour

Mais non si X = ax alors x = X / a

donc (sin(ax))/x = a(sinX) / X ce que tu sais intégrer

Bons calculs !

Posté par
otto
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 13:36

Bonjour,
ce sujet a déjà été posté il y'a environ 1 mois ou 2.

De plus, je suis très sceptique quant au fait que l'intégrale de 0 à Pi/2 donne Pi/2, je pense que ce serait plutôt l'intégrale sur R+ qui vaut ceci, et ce serait d'ailleurs largement plus cohérent avec l'énoncé.

Ici il s'agira de simplement faire le changement suivant u=ax, ce qui donne la réponse.

A+

Posté par philoux (invité)re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 13:38

Bonjour

Comment se démontre l'intégrale sur R+ de (sinx)/x = pi/2 ?

Merci,

Philoux

Posté par
piepalm
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 13:43

Je crois que tu as mal lu ton énoncé:
C'est l'intégrale de x=0 à + inf qui vaut pi/2... d'ailleurs sint/t<1 donc l'intégrale entre 0 et pi/2 est strictement inférieure à pi/2 !!!

Posté par
otto
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 13:46

Il existe de nombreuses manières de le faire évidemment.
Je me rappelle qu'un concours de MPSI avait été consacré en partie à ceci, à mon époque, mais je ne l'ai plus sous les yeux.
Quoiqu'il en soit c'était long pour rien.

La méthode que je préconise ici est de passer par la formule des résidus, et d'intégrer sur un contour que l'on envoie à l'infini, en s'assurant que ce qui n'est pas sur l'axe réelle va contribuer de moins en moins lorsque l'on envoie le contour en l'infini. (on fait comme tu l'auras compris une intégrale de contour, et je pense que tu connais ca, même si tu as du voir ca dans R^n et non dans C, mais c'est exactement pareil)

Tout bon cours d'analyse complexe traite de ce problème, dans le chapitre des résidus. (on peut d'ailleurs s'amuser à calculer sin(x)^n/x^n de la même manière, et on se rend compte que
\int_0^{\infty}sin(x)/x=\int_0^{\infty}sin(x)^2/x^2
Ce qui est assez surprenant

Contrairement aux équations fonctionnelles, je connais des bons cours abordables traitant du sujet, même disponible gratuitement sur le net, ou sinon des bons bouquins pour aborder le sujet.

A+

Posté par
piepalm
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 13:54

pour démontrer que somme de 0 à +inf de sint/t=pi/2, la méthode la plus simple est de passer par les résidus, mais cela suppose d'avoir fait de l'analyse complexe.
Sino, on peut trouver quelques méthodes un peu artificielles, mais du niveau taupe, comme de partir de F(x)=(de t=0 à +inf ) e^-xtsintdt/t
de calculer F'(x)=-1/(1+x^2) donc F(x)=F(0)-Arctanx et F(0)=pi/2 puisque F(x) tend vers 0 quand x tend vers +inf, et comme F(0) est l'intégrale cherchée...

Posté par
piepalm
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 13:58

Pas très lisible, ce que j'ai écrit!
F(x)=Somme(de t=0 à +inf ) e^(-xt)*sint*dt/t

Posté par philoux (invité)re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 14:03

Merci à tous les deux, otto et piepalm, mais les résidus ça plane encore trop haut pour moi

en revanche, le F(x) et sa dérivée : tu peux développer/vulgariser un peu plus piepalm ?

merci

Philoux

Posté par
piepalm
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 14:17

Juste un peu de calcul: F'(x)=Somme(t=0 à +inf) -e^(-xt)sintdt
Or -e^(-xt)sint dt=-e^(-xt)(e^it-e^-it)/2i=(i/2)(e^(-x+i)t-e^(-x-i)t)
dont une primitive est (i/2)(e^(-x+i)t/(-x+i)-e^(-x-i)t/(-x-i)), qui est nulle en +inf, donc
F'(x)=(i/2)(1/(-x+i)-1/(-x-i)=-1/(1+x^2)
je passe sur les justifications de convergence uniforme...

Posté par
otto
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 14:26

Salut,
les résidus ce n'est pas très compliqué:

Tu connais le développement de Taylor lorsque l'on a une fonction analytique autour d'un point.

Supposons que maintenant f n'est pas anlytique, mais possède une singularité (ie n'est pas définie, comme sin(x)/x, ou sin(1/x) ou plus simplement 1/x^n) en un point, mais uniquement en ce point, ou si elle n'est pas défini en d'autres points (comme 1/(x(x+1))) il faut que les points soit suffisement éloignés les uns des autres.
A ce moment là, on peut dire approximer f autour de ce point, par des fonctions du type 1/x^n.
En fait on peut faire un développement de Taylor, mais qui comprend également les puisssances négatives.

Exemple
sin(x)=x-x^3/3!+x^5/5!+...
dans ce cas sin(1/x) n'est pas défini en 0, et on a qu'autour de 0
sin(1/x)=1/x-1/x^33!-1/5!x^5+...

Ce que l'on appelle résidu, c'est le coefficient de la première puissance négative, ici la première puissance négative est x^-1 et le coefficient est 1.
(la 3e puissance négative est x^-3 et le coefficient est -1/3!, la (2n)e est 0, etc)

Si on intègre une fonction ayant un plusieurs résidus sur une courbe qui entoure une seule fois chacune des singularité (par exemple si on intègre sur le cercle unité, et que les singularité sont en nombre fini dans le disque unité ouvert) alors l'intégrale de f sur ce contour sera égale à 2I*Pi * (somme des résidus).
Ici si on intègre dz/z autour de 0, vu que 1/z est déjà un développement en série de puissances négatives (on appelle ca un développement en séries de Laurent), alors on regarde la première puissance négative, celle qui est z^-1, on regarde son coefficient, et c'est 1.
Donc l'intégrale de f sur tout contour fermé qui entoure une seule fois 0, est 2ipi.

On peut généraliser un peu.
Si on intègre maintenant une fonction g telle que g(z)=f(z)/(z-w) avec g qui n'a aucune singularité, alors g a une singularité en w, et nulpart ailleurs. Si on intègre g sur un contour qui entoure une seule fois w, alors l'intégrale est 2ipi.Residus(g,w).
Il suffit de le calculer, et on voit que c'est simplement f(w) (assez facile à voir).
Notamment on arrive alors à la fameuse formule de Cauchy:
f(z)=\displaystyle \int_{\gamma} \frac{\displaystyle f(\zeta)d\zeta}{\displaystyle \zeta-z}
Ce qui nous donne énormément d'informations par la suite.
La manière de procéder est en revanche illégitime (on montre d'abord la formule de Cauchy pour prouver le théorème des résidus...)

Sauf erreur(s)
A+

Posté par
otto
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 14:27

Oups, il manque un 2ipi dans la formule de Cauchy.
Il faut diviser l'intégrale de droite par 2ipi.
A+

Posté par
JJa
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 16:00


Simple... mais à condition de connaitre !

Calcul d intégrale

Posté par
otto
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 19:47

Un beau sujet a ce propos:

f definie sur C par
f(z)=\int_0^{\infty} \frac{sin(zt)dt}{t} est elle entiere ...

A+

Posté par
lolo5959
re : Calcul d intégrale 02-12-05 à 23:15

Bonsoir à vous tous!

Je tombe sur ce sujet qui m'intéresse grandement en ce moment,je viens de lire la démonstration de JJa sur l'intégrale de sin(x)/x.

Mais cette intégrale peut aussi se calculer par la méthode des résidus?
Car du coup, j'ai essayé ce calcul,mais le résidu de sin(x)/x étant nul en 0, on aura l'intégrale égale à 2*i*Pi * 0 =0 ,ce qui est faux, car elle vaut Pi....Etrange

Posté par
piepalm
re : Calcul d intégrale 03-12-05 à 07:34

La démo de JJa, c'est la méthode des résidus! sinx/x n'est pas holomorphe en 0 et son résidu n'est pas nul!

Posté par
JJa
re : Calcul d intégrale 03-12-05 à 08:45

Il suffit de calculer directement la limite de l'intégrale I(EFA), ce qui est très facile (page jointe).
De cette façon, il n'y a plus de résidu impropre et même il n'est plus question d'aucune utilisation de résidu dans toute la démo.
En fait, il ne s'agit pas de la méthode des résidus à proprement parler.


Calcul d intégrale

Posté par
otto
re : Calcul d intégrale 03-12-05 à 15:50

sinx/x n'est pas holomorphe en 0 et son résidu n'est pas nul!

Tiens donc...

sin(z)=\sum \frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}

Donc clairement que \frac {sin(z)}{z} est holomorphe en 0.
A+

Posté par
JJa
re : Calcul d intégrale 04-12-05 à 11:20

Bonjour,

je vois que je suis passé d'une façon rapide sur un point un peu délicat (mais bien connu).
En effet, le contour (avant passage à la limite) n'entourait aucun pôle. Donc l'intégrale de contour était nulle. Il n'était, alors, question d'aucun résidu, ou si vous référez d'un résidu =0.
Je reconnais avoir utilisé un vocabulaire pas très heureux pour indiquer qu'à la limite, le pôle z=0 ne se trouve plus à l'extérieur comme avant et qu'il n'est pas non plus à l'intérieur : en fait, il est exactement sur la frontière.
Ce cas, un peu spécial, est bien identifié et on sait que le résidu est pris en proportion de l'angle que fait le contour à l'endroit de son passage sur le pôle : içi, l'angle était -pi, ce qui explique pourquoi l'intégrale à la limite n'était ni = 0, ni = -2*i*pi, mais valait -i*pi.
Néanmoins, comme je l'indiquais dans ma seconde intervention, on évite toute discussion à ce sujet si on ne fait pas appel à cette notion de "valeur partielle" de résidu, mais si on calcule explicitement la limite de l'intégrale (qui, dans le cas présent, donnait bien -i*pi, ce à quoi on pouvait s'attendre).

Posté par mattrisse (invité)re : Calcul d intégrale 05-12-05 à 16:16

Effectivement, il y avait une erreur dans le sujet...
Par contre, ce qui m'embete, c'est qu'on demande d'exprimer en fonction de a. mais si on pose t=ax, a n'intervient plus dans le calcul...

Posté par
JJa
re : Calcul d intégrale 05-12-05 à 16:48

Ne vous tracassez pas pour cela.
En effet, aussi surprenant que cela puisse parraitre à première vue, le résultat est toujours le même, quelque soit a (sauf a=0).
Ce sont des choses qui arrivent !

Posté par
otto
re : Calcul d intégrale 05-12-05 à 16:53

Bien sur que a intervient dans le calcul.
si on note s(a) le signe de a c'est a dire 1 si a>0 -1 si a<0 et 0 sinon alors l'integrale vaut

s(a)*Pi/2
C'est d'ailleurs tres facile de le voir.

A+

Posté par
JJa
re : Calcul d intégrale 05-12-05 à 19:02

Mais oui, bien sûr !
Où ai-je la tête ?
Merci à otto d'avoir rectifié.

Posté par
Naoufal1
x^n*arctanx 07-12-09 à 23:19

SVP je voudrais savoir cmt calculer l'integrale de 0 jusqu'à alpha de x^n * arctanx ?!! j'ai essayé  en posant t=arctanx mais j'ai un problème pr calculer la primitive de tant^n+1  
  

Posté par
Bourricot
re : Calcul d intégrale 07-12-09 à 23:26

Bonjour Naoufal1,

Ton sujet n'a rien à faire à la suite de celui-ci ! Alors , respecte les règles en vigueur ici (lire la FAQ + le message "Merci de lire Avant de poster ici " )

Alors tu ferais mieux de créer un nouveau topic dont tu suivras l'évolution !

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