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calcul d'intégrale avec ln

Posté par
malabar
24-06-08 à 18:16

Bonsoir

je ne sais pas comment faire pour calculer une intégrale de se type:

I= 32  ln(x2-1)dx (le 3 est en haut et le 2 en bas de la somme.)


SVP pouvez vous m'aider ?. Merci.

Posté par
borneo
re : calcul d'intégrale avec ln 24-06-08 à 18:28

Bonjour,

tu dois chercher une primitive de ta fonction.

Elle n'est pas donnée par une question précédente ?

Posté par
malabar
re : calcul d'intégrale avec ln 24-06-08 à 18:33

non, je sais que 1/x a comme primitive ln(x) , mais je ne connais pas de primitive a ln . je pensais faire par intégration par parties mais je ne vois pas comment dérivée ln(x2-1).

Posté par
carrocel
re : calcul d'intégrale avec ln 24-06-08 à 18:36

Hello !

Alors deja tu peux modifier l'expression de ta fonction : x²-1 etant une identite remarquable on a sur [2;3] ln(x²-1)=ln(x-1)+ln(x+1)
ENsuite, il faut faire une integration par parties pour calculer chacune des integrales en posant u'(x)=1 et v(x) = ln(x-1) (ln (x+1) dans la 2nde integrale)
Pour la suite, quand tu auras l'integrale de x/x-1 a calculer, il faudra ecrire x/x-1 sous la forme a+ b/(x-1) et la les primitives sont "faciles" a trouver.

Si tu as besoin de precisions....demande !

Posté par
malabar
re : calcul d'intégrale avec ln 24-06-08 à 18:39

merci carrocel j'étais passé à coté de l'identité remarquable . je vais essayer de le faire .

Posté par
malabar
re : calcul d'intégrale avec ln 24-06-08 à 19:10

je vous donne ce que j'ai trouvé mais je pense que c'est faux:
U=ln(x+1)*ln(x-1)   U'= (gh)' g= ln(x+1) g'= 1/(x+1)   h= ln(x-1) h' = 1/(x-1)

U'= ((ln(x-1)/(x+1))+ (ln(x+1)/(x-1))
V'= 1 V= x

I= [ ln(x2-1)]32 - 32 ((ln(x-1)/(x+1))+ (ln(x+1)/(x-1))*x dx

I= [ ln(x2-1)]32 -[ ln(x2-1)]32
I=0

Posté par
carrocel
re : calcul d'intégrale avec ln 24-06-08 à 19:22

re !

JE vais essayer d'ecrire les details comprehensibles (j'ai du mal avec les signes mathematiques ici)

integrale de 2 a 3 de ln(x²-1) = integrale de 2 a 3 de ln(x-1)+ integrale de 2 a 3 de ln(x+1) (puisque sur [2;3], ln(x²-1)=ln((x-1)*(x+1))=ln(x-1)+ln(x+1))
Ensuite je calcule chacune de ces integrales. JE fais la premiere, la seconde fonctionne de la meme facon.

Je fais une IPP en posant u'(x)=1 et v(x) = ln(x-1)
on a donc u(x)=x et V'(x)=1/(x-1)
Dc
integrale de 2 a 3 de ln(x-1)= [x ln(x-1)] (entre 2 et 3) - integrale de 2 a 3 de x*1/(x-1)
Le crochet tu peux le calculer
dc il reste a calculer l'integrale de x/(x-1)
integrale de 2 a 3 de x/(x-1)= integrale de 2 a 3 de 1+1/(x-1) car (x/(x-1) = (x-1+1)/(x-1)= (x-1)/(x-1)+1/(x-1) = 1+1/(x-1))
integrale de 2 a 3 de 1+1/(x-1)= [x+ln(x-1)] entre 2 et 3.
En remplacant x par les valeurs, on a le resultat de la 1ere integrale. Il faut donc faire la meme chose pour integrale de 2 a 3 de ln(x+1) et ajouter les deux resultats.

A plus

Posté par
malabar
re : calcul d'intégrale avec ln 24-06-08 à 19:26

j'ai oublié que ln(a*b) = ln (a)+ln(b)

j'ai compris

encore merci et comme tu dis à plus  carrocel.

Posté par
J-P Correcteur
re : calcul d'intégrale avec ln 24-06-08 à 19:38

Poser ln(x²-1) = u --> u' 2x/(x²-1)
et poser v' = 1 --> v = x

S ln(x²-1) dx = x.ln(x²-1) - S [2x²/(x²-1)] dx
S ln(x²-1) dx = x.ln(x²-1) - 2 S dx - 2 S [1/(x²-1)] dx

1/(x²-1) = A/(x-1) + B/(x+1)
1/(x²-1) = [A(x+1) + B(x-1)]/(x²-1)

A+B = 0
A-B = 1

A = 1/2 et B = -1/2

S ln(x²-1) dx = x.ln(x²-1) - 2 S dx - S [1/(x-1)] dx + S [1/(x+1)] dx

S ln(x²-1) dx = x.ln(x²-1) - 2x + ln|(x+1)/(x-1)]

S(de2à3) ln(x²-1) dx = [x.ln(x²-1) - 2x + ln|(x+1)/(x-1)|](de2à3)

S(de2à3) ln(x²-1) dx = 3.ln(8) - 6 + ln(2) - 2ln(3) + 4 - ln(3)

S(de2à3) ln(x²-1) dx = 9.ln(2) - 6 + ln(2) - 2ln(3) + 4 - ln(3)

S(de2à3) ln(x²-1) dx = 10.ln(2) - 3ln(3) - 2
-----
Sauf distraction.

Posté par
malabar
re : calcul d'intégrale avec ln 24-06-08 à 19:40

merci J-P

Posté par
jjt
integration 25-06-08 à 13:14

bonjour!!!!

jarrive pa a integrer cette fontion

e^-2xcos(3x)
merci davance pour vos eventuelles solutions

Posté par
J-P Correcteur
re : calcul d'intégrale avec ln 25-06-08 à 13:51

2 intégrations par parties successives.

Poser e^(-2x) = v' --> v = -(1/2).e^(-2x)
et poser cos(3x) = u --> u' = -3sin(3x)

S e^(-2x) * cos(3x) = -(1/2).(e^-2x) - (3/2).S e^(-2x) * sin(3x) dx (1)
----
S e^(-2x) * sin(3x) dx

Poser e^(-2x) = v' --> v = -(1/2).e^(-2x)
et poser sin(3x) = u --> u' = 3.cos(3x)

S e^(-2x) * sin(3x) dx = -(1/2).e^(-2x).sin(3x) + (3/2).e^(-2x) * cos(3x) (2)
----
On remet (2) dans (1) ...

Vérifie et continue.

Posté par
jjt
integral 26-06-08 à 13:57

jp merci popur ta reponse
jobtien dapres cette methode
se^-2xcos(3x)=3(e^-2x(sin(3x)-cos(3x))/13
cette demarche est celle ke javais deja au prealable utiliser.malheureusement apres derivation du resultat je nobtient pas la fonction de depart

Posté par
J-P Correcteur
re : calcul d'intégrale avec ln 26-06-08 à 17:29

Un cosinus s'était perdu dans l'aventure.

Voila le machin au complet.

2 intégrations par parties successives.

Poser e^(-2x) = v' --> v = -(1/2).e^(-2x)
et poser cos(3x) = u --> u' = -3sin(3x)

S e^(-2x) * cos(3x) = -(1/2).(e^-2x).cos(3x) - (3/2).S e^(-2x) * sin(3x) dx (1)
----
S e^(-2x) * sin(3x) dx

Poser e^(-2x) = v' --> v = -(1/2).e^(-2x)
et poser sin(3x) = u --> u' = 3.cos(3x)

S e^(-2x) * sin(3x) dx = -(1/2).e^(-2x).sin(3x) + (3/2).e^(-2x) * cos(3x) (2)
----
On remet (2) dans (1) ...


S e^(-2x) * cos(3x) dx = -(1/2).(e^-2x).cos(3x) - (3/2)* [-(1/2).e^(-2x).sin(3x) + (3/2).e^(-2x) * cos(3x)]

S e^(-2x) * cos(3x) dx = -(1/2).(e^-2x).cos(3x) + (3/4).e^(-2x).sin(3x) - (9/4).e^(-2x) * cos(3x)

(1 + (9/4)) * S e^(-2x) * cos(3x) = -(1/2).(e^-2x).cos(3x) + (3/4).e^(-2x).sin(3x)

S e^(-2x) * cos(3x) dx= -(2/13).(e^(-2x)) * cos(3x) + (3/13).e^(-2x) * sin(3x)
-----
Sauf distraction.

Posté par
mikayaou
re : calcul d'intégrale avec ln 26-06-08 à 17:35

sinon, pour vérifier, tu peux dire qu'une primitive de cos(3x).e^(-2x) est de la forme :

(A.cos(3x) + B.sin(3x)).e^(-2x)

puis dériver cette expression pour trouver A et B en disant que la dérivée est égale à  cos(3x).e^(-2x)

Posté par
lafol Moderateur
re : calcul d'intégrale avec ln 26-06-08 à 19:05

Bonjour

petit gain de temps possible en intégrant par parties pour trouver une primitive de ln(x-1) par exemple :

on pose u(x) = ln(x-1) qui donne u'(x) = 1/(x-1)

v'(x) = 1 donne v(x) = x + constante. l'astuce consiste à choisir x-1 au lieu de x, ainsi le calcul de u'v se simplifie directement, pas de fraction casse bonbon dans l'intégrale !

Posté par
lafol Moderateur
re : calcul d'intégrale avec ln 26-06-08 à 19:06

sinon, ln(x²-1) se dérive avec (ln u)' = u'/u (dérivée des fonctions composées, une des fonctions étant ln)

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