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Calcul d'une espérance conditionnelle

Posté par
signcross
10-10-13 à 18:19

Bonjour (ou bonsoir...)

J'ai un exercice :

Citation :

Soit (X_n) une suite de variables F-mesurables indépendants de loi exponentielle de paramètre c\in  ]0, +\infty[ .
Soit N : \Omega \to \mathbb{N}^*, une variable géométrique de paramètre p\in]0,1[.

On suppose N indépendante de (X_n)

Calculer \mathbb{E}[N|S] avec S=X_1+...+X_n


J'écris :

\mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_n]=\frac{\mathbb{E}[1_{N=n} S]}{P(S=s)}

S me perturbe...

Merci de votre aide.

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 10-10-13 à 21:24

Bon, personne...

Alors je vais essayer... Tout seul...


 \\ \mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_n]=\frac{\mathbb{E}[1_{S=s} N]}{P(S=s)} = \frac{\mathbb{E}[1_{S=s}] \matbb{E}[N]}{P(S=s)}
 \\ car N indépendante de (X_n)

D'où, \mathbb{E}[N|S]= \dfrac{1}{p}

...

Posté par
verdurin
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 10-10-13 à 22:00

Bonsoir,
si A et B sont deux variables aléatoires indépendantes, il semble assez évident que l'espérance conditionnelle \mathbb{E}[A|B] est une constante.
Et comme \mathbb{E}[\mathbb{E}[A|B]]=\mathbb{E}[A]\ \ldots

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 12-10-13 à 16:19

Bonjour, Verdurin, c'est ça que je me suis dit...

Je viens de réaliser que j'ai fait une grave erreur :


\mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_N] et non \mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_n]

Bon, je tente :


 \\ \mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_N] = \mathbb{E}[N|(X_1+...+X_n)1_{N=n}] 
 \\ =\dfrac{\mathbb{E}[N(X_1+...+X_n)1_{N=n}]}{\mathbb{E}[X_1+...+X_n)1_{N=n}]}

et je suis arrivé au même résultat...

Des pistes ?

Posté par
verdurin
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 12-10-13 à 23:27

Bonsoir,
avec un peu de retard.
Je ne comprend pas ton problème :

Citation :
\mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_N] et non \mathbb{E}[N|S]= \mathbb{E}[N|X_1+...+X_n]

Je ne vois pas la différence.

Sinon, je ne vois pas non plus ce que tu reproches à ma démonstration. Elle est peut-être trop simple...

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 13-10-13 à 19:21

Bonsoir, Verdurin.

La variable N est différente de n.

Il semble qu'il est correct d'écrire S=X_1+...+X_N, N en majuscule et une variable aléatoire...

En fait, je ne saisis pas ta démonstration. En effet, \mathbb{E}[\mathbb{E}[A|B]]=\mathbb{E}[A]  mais je ne vois pas quel rapport car on demande de calculer \mathbb{E}[N|S] (\neq \mathbb{E}[\mathbb{E}[N|S]] )

Tout ce que je sais, c'est :
1) si X est F-mesurable (où F la tribu), alors \mathbb{E}[X|F]=X
2) si X est indépendante de F, alors \mathbb{E}[X|F]=\mathbb{E}[X]

Enfin, j'espère avoir bien appris le cours...

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 18-10-13 à 15:43

??

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 28-10-13 à 09:24

c'est difficile pour vous ?

Posté par
iciparisonzieme
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 28-10-13 à 14:48

Tu es sûr qu'il ne s'agit pas de calculer  E [ SN ∣ N  ] ?

Posté par
iciparisonzieme
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 28-10-13 à 20:39

Je ne te garantis pas que ce qui suit est juste car, ne me souvenant plus comment on calcule E[X\mid Y] lorsque X est discrète et Y continue, j'ai écrit ceci :

J'ai considéré un borélien B de \mathbb{R} et j'ai calculé E[N\mid{S_N\in B}] :

Après quelques lignes de calculs (il faut sommer une série) j'ai finalement abouti à :

        E[N\mid{S_N\in B}] = \frac{pc}{P(S_N\in B)} \int_B^{} (1+c(1-p)x) e^{-pcx} dx

     où

       P(S_N\in B) = pc\int_B^{} e^{-pcx} dx

Après, tiens-toi bien, j'ai considéré B=[t,t+h], j'ai calculé les deux intégrales puis j'ai fait tendre h vers 0. J'en ai déduit que :

       E[N\mid{S_N=t}] =1+c(1-p)t

Et donc :

      E[N\mid{S_N}] =1+c(1-p)S_N

Pour vérifier, j'ai calculé différemment E[N], qui, comme chacun le sait, vaut \frac{1}{p}

     E[N] = E[ E[N\mid{S_N}]]  =1+c(1-p)E[S_N]

On voit ci-dessus que S_N suit une loi exponentielle de paramètre pc donc E[S_N]=\frac{1}{pc}

J'obtiens :

     E[N]  =1+\frac{c(1-p)}{pc}=\frac{1}{p}

C'est comme la preuve par 9! On ne peut rien dire...

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 01-11-13 à 18:57

Bonjour iciparisonzieme.

Je te remercie chaleureusement.

En fait j'ai trouvé la réponse

Pour les autres qui sont intéressé :

On remarque que la loi de S=X_1+...+X_n suit une loi Gamma de paramètres n et c.

Et on utilise le corollaire suivant :

Citation :
Soit \phi mesurable : \Omega \to \mathbb{R}.

\mathbb{E}[N|S] = \phi (S) si et seulement si pour tout g mesurable bornée, \mathbb{E}[Ng(S)]=\mathbb{E}[\phi(S) g(S)]


Et on cherche \phi(S) et on trouve la réponse : \mathbb{E}[N|S]= 1+pcS

Posté par
iciparisonzieme
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 01-11-13 à 20:22

J'ai également utilisé le fait que Sn suit une loi gamma mais je ne comprends pas comment cette remarque d'ordre théorique a pu te permerttre de trouver la trouver fonction phi. Ce n'est pas grave.

Je note quand même que nos deux réponses sont différentes puis moi je trouve  1+qcS et toi 1+pcS.

Cet exercice est très intéressant, en as-tu d'autres comme celui-ci ?

Posté par
iciparisonzieme
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 01-11-13 à 20:26

NB : Avec ce que tu as trouvé, tu n'obtiendras pas E[N] = 1/p ...

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 02-11-13 à 12:17

Salut iciparisonzieme.

Pourquoi S_N suit-elle une loi exponentielle de paramètre pc ?

La fonction caractéristique de X est \Phi_X(u)=\dfrac{c}{c-iu} et celle d'une loi Gamma \Phi_X(u)=\left(\dfrac{c}{c-iu}\right)^n

Sachons que si X et Y sont indépendantes alors \Phi_{X+Y}(u)= \Phi_X(u)\Phi_Y(u)

D'où la loi Gamma de paramètre (n,c).

D'autre part, (sauf si je me trompe) le cours donne :

Si \mathcal{F} est une tribu, alors \mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{F}]=\mathbb{E}[X]

Ici, S est-elle une tribu ?!

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 02-11-13 à 12:18

Oui pour les exercices mais sans corrigé...

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 02-11-13 à 12:19

\mathcal{F}=\sigma(S) est une tribu engendrée par S.

Posté par
iciparisonzieme
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 02-11-13 à 14:09

Je n'ai pas besoin des corrigés, figure-toi.

Loi de SN

Il est facile, en passant par les tribus, de montrer que SN  est bien d'une variable aléatoire définie sur l'espace probabilisé ( , A, P) de départ.

J'ai obtenu :

     Pour tout borélien B : P(SN ∈ B) = \int_B pc e^{-pc t } dt

Cette égalité suffit pour démontrer que SN suit une loi exponentielle de paramètre pc.

Bien sûr, tu peux être surpris par cette égalité que j'ai écrite. Elle résulte de quelques lignes de calculs que je peux détailler si tu en ressens le besoin.

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 02-11-13 à 16:12

Bonjour, iciparisonzieme, merci pour ton message.

Je ne comprends toujours pas ce que tu as écrit... Surtout \mathbb{E}[S]=\dfrac{1}{pc}...

Comme tu sais que \mathbb{E}[X_1]=\dfrac{1}{c}, \mathbb{E}[S] = \mathbb{E}[X_1+...+X_2]= n \mathbb{E}[X_1]=n \dfrac{1}{c}

Mon prof vient de me donner le résultat. Il s'agit bien de \mathbb{E}[N|S]= 1+pcS

Par contre, j'ai vérifié le résultat avec \mathbb{E}[N] et c'est pas correct !

\mathbb{E}[N] = \mathbb{E}[\mathbb{E}[N|S]] = \mathbb{E}[1+pcS]= 1+pn

Posté par
iciparisonzieme
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 02-11-13 à 17:29

Je n'ai pas écrit que E[S] = 1/(pc). J'ai écrit :

       E[ SN ] = 1 / (pc) car SN suit une loi exponentielle de paramètre pc.

Nuance !

Si tu ne retrouves pas E[N] c'est que le résultat donné par le prof est faux. à moins qu'il ait écrit :

                 E[N /S] = 1 + cq S

et que tu aies pris le q pour un p...

Posté par
iciparisonzieme
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 02-11-13 à 17:31

Attention, c'est :

    E[N/SN] = 1 + qc SN

Tu sembles oublié que tu avais rectifié le sujet.

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 02-11-13 à 19:15

Bon, ok, admettons qu'il s'est trompé...

Merci beaucoup.

Et j'ai un autre exercice avec une variable discrète. Je continue ici ou je lance un autre sujet ?

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 02-11-13 à 19:31

Je préfère insister sur cette erreur

J'ai calculé \mathbb{E}[N g(S)] pour toute g mesurable bornée.

 \\ \mathbb{E}[N g(S)]=\sum_{n>0}\mathbb{E}[n 1_{N=n} g(S)] = \sum_{n>0} n \mathbb{E}[1_{N=n}] \mathbb{E}[g(S)]

D'après le calcul, j'ai :

\mathbb{E}[N g(S)]=\int_0^{\infty} g(s) e^{-cs}(1-p) c \sum_{n>0}\dfrac{n(pcs)^{n-1}}{(n-1)!}ds

Et \sum_{n>0}\dfrac{n(pcs)^{n-1}}{(n-1)!} = (1+pcs)e^{pcs}

Es-tu d'accord avec cette égalité ?

Posté par
iciparisonzieme
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 02-11-13 à 20:04

Nous n'avons pas calculé la même chose... J'ai calculé E[N|SN] et toi E[N|Sn]

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 02-11-13 à 21:22

S=X_1+...+X_N = \sum_n 1_{N=n}(X_1+...+ X_n)

Posté par
signcross
re : Calcul d'une espérance conditionnelle 03-11-13 à 12:33

Je viens de poster un autre sujet similaire si ça t'intéresse.

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