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Niveau master
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Calcul de cardinal.

Posté par
boob
07-10-08 à 15:16

Bonjour,

j'aimerais calculer le cardinal des fonctions surjectives de dans .

J'ai une fonion de I dans (où I est l'ensemble des nombres impairs) (de même, on a P l'ensemble des nombres pairs) qui à une fonction u associe la fonction (u) définie par :
(u) :
x x/2 si x P
et x u(x) si x I
J'ai démontré que cette fonction était injective.

Mais je ne comprends pas à quoi cela peut me servir.

Je ne suis pas très intuitive, j'ai du mal à avoir une idée sur le cardinal des fonctions surjectives de dans et la question précédente ne m'aide même pas.

Auriez-vous des conseils, s'il vous plaît ?

Merci !

Posté par
Camélia Correcteur
re : Calcul de cardinal. 07-10-08 à 15:28

Bonjour

Ce serait bien que tu mettes l'énoncé complet de l'exercice. Les fonctions surjectives de N dans N forment un ensemble infini. par ailleurs, je ne vois pas d'où sort ta fonction \varphi.

Il doit bien y avoir des questions intermédiaires!

Posté par
boob
re : Calcul de cardinal. 07-10-08 à 15:33

Absolument pas.
Ma première question porte sur l'injectivité de.
La seconde sur le cardinal de l'ensemble des applications surjectives de N dans N.

Je me doute bien qu'il s'agit d'un ensemble infini.
Mais ... quel infini ? Est-il équipotent à ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : Calcul de cardinal. 07-10-08 à 15:48

Oui, c'est le même que NN.

J'ai compris! La fonction (u) est surjective de N dans N (à cause des x/2 des pairs).

Tu viens donc de construire une injection de NI dans les surjectives.

Tu as aussi une injection de NN dans NI, par exemple en faisant correspondre à v: NN la fonction définie sur les impairs par w(2k+1)=v(k).

et... c'est reglé!

Posté par
boob
re : Calcul de cardinal. 07-10-08 à 15:51

\o/
Merci !
(C'était ce que j'avais fait.)
(Je suis heureuse, j'ai un cerveau.)

Posté par
Camélia Correcteur
re : Calcul de cardinal. 07-10-08 à 15:55

Parbleu! on n'arrive pas en master sans cerveau!

C'est l'énoncé de ta question qui m'a étonné; je savais bien que c'était non dénombrable, mais je te fais remarquer que nous n'avons pas calculé le cardinal!!

Posté par
boob
re : Calcul de cardinal. 07-10-08 à 15:57

C'est vrai.
C'est ma faute, je ne pense pas encore tout à fait comme il faudrait.

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